F?(a?bt)?0,得
(2)子弹所受的冲量
t?ab
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
将
t?ab代入，得
(3)由动量定理可求得子弹的质量
a2I?2b
2-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为?
Ia2m??v02bv0
2kT2Tv+m, v-km
证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得
m1?kmm,m2?k?1k?1 ①
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2222 ②
mv?m1v1?m2v2 ③
联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2km 2Tv1?v?km 于是有
将其代入④式，有
v2?v?又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
2kTm
v1?v?证毕．
2kT2T,v2?v?mkm
????????F?7i?6jNr??3i?4j?16km合F2-12 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作的功．(2)如果质点到r处
时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
?F解: (1)由题知，合为恒力，
???????A?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k) ∴ 合 ??21?24??45J
P?(2) (3)由动能定理，
A45??75w?t0.6
?Ek?A??45J
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．? 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
kss02 ①
式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A1??f?dy???fdy??kydy?1A2??kydy?1y212kky2?22 ②
由题意，有
1kA2?A1??(mv2)?22 ③
12kkky2??222 即
所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
nE(r)?k/rmPr2-14 设已知一质点(质量为)在其保守力场中位矢为点的势能为, 试求质点所受保守力的大小和
方向．
F(r)?解:
?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
dE(r)nk??n?1drr
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势
能之比．?
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
题2-15图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1k2??x2k1
弹性势能之比为
Ep1Ep21k1?x12k?2?21k12k2?x22
24
2-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98310kg，
8226
地球中心到月球中心的距离3.84310m，月球质量7.35310kg，月球半径1.74310m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?? 解: (1)设在距月球中心为r处
F月引?F地引，由万有引力定律，有
G经整理，得
mM月r2?GmM地?R?r?2
r?M月M地?M月R
7.35?1022=
则P点处至月球表面的距离为
5.98?1024?7.35?1022?3.48?108
6?38.32?10m
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
EP??GM月r?GM地?R?r?
117.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10??38.4?3.83??107 3.83?107?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图
所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于A点，
AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下m1,求它下落到B处时的速率． 解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
11??m2gh?(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2]22
式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则
?l?AC?BC?(2?1)h
联立上述两式，得
v?2?m1??m2?gh?kh2m1?m2?2?1?2
题2-17图
2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度
v0＝3m2s-1从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到
达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度． 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
?frs?式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
12?12?kx??mv?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frs2k?12kx2
k?1390N?m-1
题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
?frs??mgs?sin37o?代入有关数据，得 s??1.4m,
则木块弹回高度
12kx2
h??s?sin37o?0.84m
题2-19图
2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度． 解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
11mv2?MV222
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
mgR?联立，以上两式，得
v?2MgR?m?M?
2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．? 证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
11122mv0?mv12?mv2222
222v?v?v012即 ①
题2-20图(a) 题2-20图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有
???mv0?mv1?mv2 ???v?v1?v2 ②
亦即 0的．
???vv由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以0为斜边，故知1与v2是互相垂直
2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为
坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为 作用在质点上的力为 所以，质点对原点的角动量为
???v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于
???r?x1i?y1j ??f??fi
???L0?r?mv
?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj) ??(x1mvy?y1mvx)k
作用在质点上的力的力矩为
???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
104
2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75310m 时的速率是v1＝5.46310?
-1
2
-1
m2s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08310m2s?这时它离太阳的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
?
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
1?r2mv2 r1mvr1v18.75?1010?5.46?104r2???5.26?1012m2v29.08?10∴
???????1?v?i?6jm?sf?5jN作用在物体上,求3秒后，(1)2-23 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im, ，如一恒力
物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．
??3???p??fdt??5jdt?15jkg?m?s?1 解: (1)
0
(2)解(一)
x?x0?v0xt?4?3?7
115y?v0yt?at2?6?3???32?25.5j23 ???2??即 r1?4i,r2?7i?25.5j
vx?v0x?1
5vy?v0y?at?6??3?11??3?? ??即 v1?i1?6j,v2?i?11j
???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k
????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k