图中绘出的条件求： (1)波动方程；
(2)P点的振动方程．
y?0,v0?0，∴
解: (1)由题5-12图可知，A?0.1m，??4m，又，t?0时，0u??x1u2??2????0.5m?s?1，?t0.5?4Hz，∴??2????
x?y?0.1cos[?(t?)?]22m
(2)将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为
?0??2，而
故波动方程为
y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m
题5-12图
-1
5-13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m2s ，波长为2m，求： (1)波动方程；
(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；
(4) P点回到平衡位置所需的最短时间． 解: 由题5-13图可知A?0.1m，t?0时，
y0?A?,v0?0?0?23，由题知??2m， ，∴
10?5?1u?10m?s，则?2Hz
∴ ??2???10?
??u?(1)波动方程为
y?01.cos[10?(t?x?)?]103m
题5-13图
A?4?,vP?0?P?23(P点的位相应落后于0点，故取负值) (2)由图知，t?0时，，∴
4yp?0.1cos(10?t??)3 ∴P点振动方程为
x?410?(t?)?|t?0???1033 (3)∵
5x??1.673m ∴解得
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位相角
yP??题5-13图(a)
∴所属最短时间为
????3??5??26
?t?????5?/61?10?12s
5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为yP=Acos(
(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程． 解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为
?t??0)．
y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为
lx?)??0]uu
题5-14图
(2) 如题5-14图(a)，则Q点的振动方程为
xy?Acos[?(t?)??0]u
bAQ?Acos[?(t?)??0]u
如题5-14图(b)，则Q点的振动方程为
bAQ?Acos[?(t?)??0]u
5-15 已知平面简谐波的波动方程为y?Acos?(4t?2x)(SI)．
(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点? (2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足
?(4t?2x)?2k? 解得 x?(k?8.4) m (k?0,?1,?2,…) 所以离原点最近的波峰位置为?0.4m． ∵
4?t?2?t??t??xu 故知u?2m?s?1,
?0.4?0.22s，这就是说该波峰在0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是4.2?0.2?4s，即该∴
波峰是在4s时通过原点的．
?t??
题5-15图
?1(2)∵??4?,u?2m?s，∴
?m，又x?0处，t?4.2s时，
?0?4.2?4??16.8?
y0?Acos4??4.2??0.8A
??uT?u2??1??17?，则应有
又，当y??A时，x 16.8??2?x?17? 解得 x?0.1m，故t?4.2s时的波形图如题5-15图所示
5-16 题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．
解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知T?2故知
s,A?0.2m，且t?0时，y0?0,v0?0，
2,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，
txy?Acos[2?(?)??0]T?且??4m，若取
?0???题5-16图
则波动方程为
tx?y?0.2cos[2?(?)?]242
5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0310J2m2s，频率为300 Hz，波速为300m2s，
求 ：
(1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I?wu
-3-2-1-1
I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3 u300∴
wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3
11uW??V?w?d2??w?d244? (2)
1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J 4300??5-18 如题5-18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距4，S1较S2位相超前2，求： (1) S1外侧各点的合振幅和强度；
(2) S2外侧各点的合振幅和强度
解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为
???2????r?(r?)???112??4??
2A?A1?A1?0,I?A?0
??（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.
2?4
2A?A1?A1?2A1,I?A2?4A1
?????2?(r2???r2)?0?3y?2?10cos2?t;C点BBPB5-19 如题5-19图所示，设点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为1?3y?2?10cos(2?t??)，CPC发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为2本题中y以m计，t以s计．设
BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波速u=0.2m2s-1，求：
(1)两波传到P点时的位相差；
(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；
*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅． 解: (1)
???(?2??1)?2??(CP?BP)
u 2????(0.5?0.4)?00.2
????(CP?BP)
题5-19图
(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以
AP?A1?A2?4?10?3m
(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为
2A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m
5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为A，频率为?波速为u． (1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；
A?(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．
y?0,v0?0，∴
解: (1)∵t?0时，0x?y?Acos[2?v(t?)?]u2m
?0???2故波动方程为
题5-20图
x?2?(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将
反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为
32?3??????4代入)?42，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上
3??????????42
若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为
??2???5????????342，因只考虑2?以内的位相角，∴反射波在O点的位相为2，故反射波的波动方程为
x?y反?Acos[2??(t?)?]u2
此时驻波方程为
x?x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]u2u2
故波节位置为
?2Acos2??x?cos(2??t?)u2
2??x2???x?(2k?1)?2 u4 (k?0,?1,?2,…) 13x??,?44 根据题意，k只能取0,1，即
5-20 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t(SI)，求：
故
(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为 故知
x?(2k?1)?y?2Acos2??xcos2??tu
A?0.02?0.012m
7502???202???750，则2?， u
2??2??750/2?u???37.5m?s?1 2020∴
u2??/20????0.1??0.314??m所以相邻两波节间距离 (2)∵
???x??2?0.157m
5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)
试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波 节．
解: 为使合成驻波在x?0处形成波节，则要反射波在x?0处与入射波有?的位相差，故反射波的波动方程为
13t?0.0079x??) y2?0.1cos(5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为
y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．
(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； (2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为
y?0.06cos(?x?4?)?0.06cos(?x?4?t) ?0.12cos?xcos4?t
出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；
12,则2，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置． 令
(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2m处的振幅由下式决定，即
?x?(2k?1)?x?(2k?1) -1
5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330m2s，求汽车的速率．
解: 设汽车的速度为
A驻?0.12cos(??1.2)?0.097mvs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为
?1?
u?0u?vs