????2?1?L?L?L?82.5kkg?m?s21∴
解(二) ∵
M?dzdt
∴
??t?t??L??M?dt??(r?F)dt003
?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023????3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?10
题2-24图
2-24 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为
r0时重物达到平衡．今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-24图．试问这时小球作匀速圆
周运动的角速度??和半径r?为多少??
解: 在只挂重物时M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即
M1g?mr0?0挂上M2后，则有
2
①
2 ??(M?M)g?mr?12 ②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 联立①、②、③得
r0mv0?r?mv?
?r02?0?r?2?? ③
?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mrM012
-1
2-25 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转速为900rev2min．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? (2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N、N?是正压力，Fr、Fr是摩擦力，转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力．
M1?M2g??m?M1?r0M1?M2?Fx和Fy是杆在A点
题2-25图（a）
题2-25图(b)
杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
l1?l2Fl1
对飞轮，按转动定律有???FrR/I，式中负号表示?与角速度?方向相反． ∵ Fr??N N?N?
F(l1?l2)?N?l1?0N??Fr??N???∴
l1?l2Fl1
I?又∵
1mR2,2
???∴ 以F?100N等代入上式，得
FrR?2?(l1?l2)?FImRl1 ①
?2?0.40?(0.50?0.75)40?100??rad?s?260?0.25?0.503
??由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
t??这段时间内飞轮的角位移为
?0900?2??3??7.06s?60?40
1900?2?91409?????(?)22604234?53.1?2?rad
可知在这段时间里，飞轮转了53.1转．
2??0?900?rad?s?160(2)，要求飞轮转速在t?2s内减少一半，可知
???0t??t2??0??2??0t???02t??15?rad?s?22
用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为
F???mRl1?2?(l1?l2)60?0.25?0.50?15?2?0.40?(0.50?0.75)?2?177N
2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO?转动．设大小圆柱体的半径分别为R和r，质
量分别为M和m．绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设R＝0.20m, r＝0.10m，m＝4 kg，M＝10 kg，m1＝m2＝2 kg，且开始时m1，m2离地均为h＝2m．求： (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．
解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．
题2-26(a)图 题2-26(b)图
(1) m1,m2和柱体的运动方程如下：
T2?m2g?m2a2 ①
m1g?T1?m1a1 ②
??T1R?T2r?I? ③
式中 T1??T1,T2??T2,a2?r?,a1?R? 而 由上式求得
I?11MR2?mr222
???Rm1?rm2g22I?m1R?m2r0.2?2?0.1?2?9.811?10?0.202??4?0.102?2?0.202?2?0.10222?6.13rad?s?2 (2)由①式 由②式
T2?m2r??m2g?2?0.10?6.13?2?9.8?20.8N T1?m1g?m1R??2?9.8?2?0.2.?6.13?17.1N
2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1＝50?kg，m2＝200 kg,M＝15 kg, r＝0.1 m 解: 分别以m1,m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m1,m2运用牛顿定律，有
m2g?T2?m2a ①
T1?m1a ②
对滑轮运用转动定律，有
1T2r?T1r?(Mr2)?2 ③
又， a?r? ④
联立以上4个方程，得
a?m2gm1?m2?M2?200?9.8?7.6155?200?2m?s?2
题2-27(a)图 题2-27(b)图
题2-28图
2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：
(1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过?角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有
mg11?(ml2)?23
∴
(2)由机械能守恒定律，有
??3g2l
l11sin??(ml2)?2223
mg??∴
3gsin?l
题2-29图
2-29 如题2-29图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止
在平衡位置上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处．?
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v0的值；? (2)相撞时小球受到多大的冲量??
解: (1)设小球的初速度为0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
vmv0l?I??mvl ①
121212mv0?I??mv
222②
I?上两式中
12Ml3，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度
??30o，按机械能守恒定律可列式：
12lI??Mg(1?cos30?)22 ③
由③式得
由①式
???(1?cos30?)???(1?)?2??I??l
v?v0?I?ml ④
?Mgl?12?3g3?12由②式
I?2v?v?m ⑤
220所以
(v0?求得
I?212)?v0??2mlm
v0??(2)相碰时小球受到的冲量为
l?Il1M(1?2)?(1?)?223mml6(2?33m?M12mgl
?Fdt??mv?mv?mv由①式求得
0?Fdt?mv?mv0????6(2?3)M6gl
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
I?1??Ml?l3
题2-30图
2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．? (1)问它能升高多少??
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．? 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 设碎片上升高度h时的速度为v，则有 令v?0，可求出上升最大高度为
v0?R?
2v2?v0?2gh
2v0122H??R?2g2g
11I?MR2I??MR2?mR222(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的角动量为I?，
碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 式中??为破盘的角速度．于是
I??I????mv0R