解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2?2????0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所示．题 中所述，?S＜＜R，故???S→0，所以回复力为?mg?.式中R负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
d2?mR2??mg?
dt2令??g，则有 Rd2???2?0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1F2??k2x2
又有 x?x1?x2
x?所以串联弹簧的等效倔强系数为
FFF?1?2 k串k1k2k1k2
k1?k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周
k串?期为
T?2???2?m(k1?k2)m?2? k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有
k并x?k1x1?k2x2
故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为
T??2?m
k1?k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮
的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2xmgsin??T1?m2 ①
dtT1R?T2R?I? ②
d2x 2?R? T2?k(x0?x) ③
dt式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
Id2x(mR?)2??kxR
RdtkR2令 ?? 2mR?I2则有
d2x??2x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
mR2?Im?I/R2T??2?(?2?) 2?KkR2??3)(SI)的规律作谐振动，求： 4-4 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??32?(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3
?4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?am?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep，
12112kx??(kA) 22222∴ x??A??m
220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的
即
状态分别是：
(1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动；
A处向负向运动； 2A(4)过x??处向正向运动．
2(3)过x?试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ??x0?Acos?0
?v0???Asin?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
2?t??) T32?3?2??x?Acos(t??)
2T2?2???3?x?Acos(t?)
3T35?2?5?4?x?Acos(t??)
4T44-6 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求： (1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s
2??0.5?rad?s?1 ∴ ??T又，t?0时，x0??A,??0?0
?1??x?Acos(故振动方程为
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3
方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
A?,且v?0,故?t? 23????2?/?s ∴ t??323t?t时 x0?? (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
E?m1g1.0?10?3?9.8解：由题知?k???0.2N?m?1 ?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正)
又 ???k0.22???5,即T??1.26s ?3m?8?10v2A?x0?(0)2?5.0?10?22?(1.0?10)?()
5?22?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?545?2∴ x?2?10cos(5t??)m
4
4-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
题4-8图
解：由题4-8图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0?即 ??3?,又,A?10cm,T?2s 22???Trad?s?1
3?)m 2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0?,v0?0,??0?
23故 xa?0.1cos(?t?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???2
又 ?1???1???∴ ??535? 25? 6565?)m 34-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下
故 xb?0.1cos(?t?落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．
MM?m，落下重物后振动周期为2?，即增大． kkmg(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t?0时，则x0??．碰撞时，以m,M为一系统动量守恒，即
k解：(1)空盘的振动周期为2?m2gh?(m?M)v0
则有 v0?于是
m2gh
m?M20mg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)v02
?（3）tan?0??mg2kh1?k(m?M)gv02kh (第三象限)，所以振动方程为 ?x0?(M?m)gx?mg2kh1?k(m?M)g?k2kh?cos?t?arctan?
(M?m)g??m?M4-10 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10?3kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量
F?t?1.0?10?4kg?m?s?1，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．
解：由动量定理，有
F??t?mv?0
F??t1.0?10?4??0.01m?s-1 ∴ v??3m1.0?10按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s?1 ＞0 ∴ ?0?3?/2
g9.8??3.13rad?s?1 l1.0v2v0.012?3.2?10?3m ∴ A?x0?(0)?0???3.13又 ??故其角振幅
??小球的振动方程为
A?3.2?10?3rad l32??3.2?10?3cos(3.13t??)rad
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．
?，已知第一6题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
2A2?A12?A2?2A1Acos30?
?(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2
?0.01∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则
2A2?A12?A2?2A1A2cos?