得????(角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为
11MR2??(MR2?mR2)???mv0R22 11(MR2?mR2)??(MR2?mR2)??22
1(MR2?mR2)?2
转动动能为
题2-31图
Ek?11(MR2?mR2)?222
2-31 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为速度0射入轮缘(如题2-31图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
m0的子弹以
vm0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．
解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒
(2)用m,
Rsin?m0v0?(m?m0)R2? mvsin???00(m?m0)R ∴
mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02(2)
2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N2m；定滑轮的转动惯量是0.5kg2m，
半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长． 解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
-1
2
mgh?又 ??v/R
111mv2?I?2?kh2222
(2mgh?kh2)k2v?mR2?I故有
(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32?6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1
题2-32图 题2-33图
2-33 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为
I0，环半径为R，初始角速度为?0．质
量为m的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少?
解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有
I0?0?(I0?mR2)? ①
该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为vB，以B点为重力势能零点，则有
11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222 ②
联立①、②两式，得
22I0?0RvB?2gR?I0?mR2
(2)当小球滑至C点时，∵故由机械能守恒，有
Ic?I0 ∴?c??0
mg(2R)?1mvc22
∴ c请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．
v?2gR
习
3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
x2?y2?z2?(ct)2 x?2?y?2?z?2?(ct?)2
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．
l?,t1?)?(l,)(x1c，在车站(S)系： 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S?)系时空坐标为
ulu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?)t1??(t1cccc cl?,t2?)?(?l,)(x2c，在车站(S)系： 光信号到达后门为事件2，则在车厢(S?)系坐标为
u?lu??2x2?)?(1?)t2??(t2cc c?lut2?t1??22c 于是
????或者 ?t?0,?t?t1?t2,?x?x1?x2?2l
?t??(?t??uu??x)??(2l)22cc
3-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6310m,t1=2310s，以及x2=12310m,t2=1310s．已知在S′系中测得该两事件同时
4
-4
4
-4
发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设(S?)相对S的速度为v， (1)
???(t1?t1vx1)c2
???(t2?t2vx2)c2
??t1??0 由题意 t2则
t2?t1?v(x2?x1)c2
t2?t1c????1.5?108x2?x12m?s?1 故
???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) (2)由洛仑兹变换 x1v?c24??x?x?5.2?10m 21代入数值，
′l3-4 长度0=1 m?的米尺静止于S′系中，与x轴的夹角?'=30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测?得米尺与x轴夹角为??45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．
解: (1)米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：
?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y
米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即
v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc
LyL?L?yytan????LxLxv2?1?2Lxc 故
?,L?y??45οLx把
及
代入
v20.51?2?0.866 c则得
故 v?0.816c
?0.707msin45? ll3-5 一门宽为a，今有一固有长度0(0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门
(2)在S系中测得米尺长度为
外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?
L?Lyul?l01?()2c，当1?a时，可认为能被拉进门，则 解: 门外观测者测得杆长为运动长度，
ua?l01?()2c
au?c1?()2l0解得杆的运动速率至少为：
题3-6图
3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t
?t?O? 测得的是固有时?t?
L020?v0.6c
L01??2?t????v∴
?8? ?8.89?10s，
?t??v?0.6c ， 1??0.8 ，
Lv
或者，O?测得长度收缩，
L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??0.8L00.8?20?8??8.89?10s80.6c0.6?3?10
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得
?t??这两个事件的时间间隔为 5s．求：
?(1) S?相对于S的运动速度．
?(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
??x1?′ 解: 甲测得?t?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为?x??x2?t???(?t?(1)∴
v?x)???t2c1v1?()2c?t
v2?t41?2????t5 c?
?t43v?c1?()2?c1?()2?c?t?55 解出
?1.8?108 m?s?1
?t?5?x?????x?v?t?,???,?x?0?t4(2) 53?x????v?t???c?4??3c??9?108m45∴
??负号表示x2?x1?0．
3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地
球的速度是多少?
3l??3?l01??2?51??2,则?1??25解:
v?1?∴
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．
证: 设在S系A、B事件在a,b处同时发生，则
94c?c255
?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得
? ?t?0,?x?0，
??t??t?B?tA??(?t?v?x)2c
?t??0 ∴
即不同时发生． 3-10 试证明：
?(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
?(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
解: (1)如果在S?系中，两事件A、B在同一地点发生，则?x??0，在S系中，?t???t???t?，仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．
(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x???x?，仅当v?0时等式成立，∴S?系中?x?最短． 3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期
?t???0.地球为S系，则有运动时?t1???t?，这里?t1不是地球上某点
v?t1观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，c
v?t1v?t??t1????t????tcc∴ ′ v???t?(1?)c
11???0.8c20.61?()c
?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则
0.50.3???0.1666s11.8(1?0.8)0.6
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命
-6
等于其平均寿命2310s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．
?6?t?2?10s是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿?0解: 介子在其自身静止系中的寿命
命延长了．衰变前经历的时间为
?t?这段时间飞行距离为d?v?t?9470m 因d?6000m，故该?介子能到达地球．
?t0v21?2c?3.16?10?5s
或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在
?t0时间内，地球接近的距离为
d??v?t0?599m
d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：
??d0d0?d??d0，故?介子能到达地球．
v21?2?379mc