分析与解 图3中最大三角形被从同一顶点引出的四条线段纵向分为五个基本三角形，与例1、例2类同。由规律一可知，这些基本三角形构成的三角形有（1＋2＋3＋4＋5＝）15个。 例4 数一数，图中有几个立方体？
分析与解 图4中最大立方体被纵向分为三个基本立方体，与例1、例2类同。由规律一可知，图4中立方体总数是（1＋2＋3＝）6个。
以上四例中的图示虽然分别表示线、面、体的分割；但都是单向分割，其实质均可视为线段分割，数学意义相同。所以具有同一数学规律。 二、面的双向分割
例5 数一数，图5中有几个矩形（包括长方形和正方形两种几何图形）？
分析与解 图5中最大矩形被纵向分成五部分，横向分成4＝）20个基本矩形。由规律一和例2可知，（1）每一横列有矩形（1＋2＋3＋4＋5＝）15个；（2）每一纵列有矩形（1＋2＋3＋4=）10个；综合（1）和（2）可知，图5中矩形总数是（10×15＝）150个。
规律二 一个矩形被纵向分成a部分，横向分成b部分，一共有（a×b）个基本矩形；这些基本矩形所构成的矩形有（1＋2＋?＋a）（1＋2＋?＋b）个。特殊的有，如果矩形被纵向横向都分成a部分，就有a个基本矩形，这些基本矩形构成的矩形总数是（1＋2＋?＋a）2个。 例6 数一数，图6中有几个三角形？
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分析与解 图6中最大三角形ABC被从A点引出的四条线段纵向分成五个基本三角形，又被两条横向线段分成三部分。由规律一和例3可知，以A为顶点，以DE上线段为底边的三角形有（1＋2＋3＋4＋5=）15个；同理，以A为顶点，分别以FG上线段和BC上线段为底边的两类三角形都各有15个。所以，三类三角形的总数为（15×3=）45个。
显然，此题解答不同于例5。这是因为，图6中的三角形仅因底边分属三条直线而分为三类，且所有三角形都有一个共同的顶点A。 例7 数一数，图7中有几个正方形
分析与解 图7中最大正方形被纵向横向都分成四等份，得（42=）16个全等基本正方形。这些基本正方形构成的正方形有四类：用42个基本正方形构成的正方形只有1个（＝12个），用32个基本正方形构成的正方形有4个（＝2个），用2个基本正方形构成的正方形有9个（＝3个）；用1个基本正方形构成的正方形有16个（=42个）。所以，图7中正方形的总数是（12＋22+32+42＝）30个。
如果例7中的问题改为，图7中有矩形（包括正方形和长方形两种几何图形）多少个？那么，由规律
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二的特殊情形可知，图7中的矩形有[（1＋2＋3＋4）＝102 =]100个。显然，图7中的长方形总数是（100-30=）
2
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70个。
三、体的三向分割
例8 数一数，图8中有几个立方体？
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分析与解 图8中最大立方体被横向分为两部分，纵向分为三部分，平向分为四部分，这样就得（2×3×4＝）24个基本立方体。由规律一和例4可知，每层每纵列有立方体（1＋2=）3个；每层每横列有立方体（1＋2＋3=）6个；每竖列有立方体（1＋2＋3＋4=）10个。综合以上三个数据可知，图8中立方体的总数有（3×6×10=）180个。
规律三 一个立方体被纵向分为a部分，横向分为b部分，平向分为c部分，这样可得（a×b×c）个基本立方体；这些基本立方体构成的立方体总数为（1＋2＋?＋）（1＋2＋?＋b）（1＋2＋?＋c）个。特殊的有，当立方体被纵向、横向、平向都分为a个部分时就得到a3个基本立方体；这些基本立方体构成的立方体总数为（1＋2＋?＋a）3个。 例9 数一数，图9中有几个正方体？
分析与解 图9中最大正方体被纵向、横向、平向都分成四等份，得到（4=）64个全等基本正方体。这些基本正方体构成的正方体有四类：用43个基本正方体构成的正方体只有1个；用33个基本正方体构成的正方体有（23=）8个；用23个基本正方体构成的正方体有（33=）27个；用13个基本正方体构成的正方体有（43＝）64个。所以图9中有正方体（13＋23＋33＋43＝）100个。
以上3种类型9道例题的解答过程使我们知道“数一数”这类题目的基本思路是，按照一定的顺序，有条不紊地思考问题，基本方法是分类统计，逐步地解答问题。根据这种思路和方法归纳概括了3条规律。这3条规律在知识结构上是互相联系的，前者是后者的基础，后者是前者的发展，呈递进关系。
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[奥数课堂]关于“比多比少”问题分数计算中的“比多比少”问题是常见的数学问题，这类问题看起
来简单，但一不小心，特别是不注意标准量的换位，就很容易弄错。它由于叙述简洁，现实生活又有丰富的题材，所以常常是各类考试命题的热点，下面我们试举例研究这类问题的解法。
一、公式法
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公式法就是利用信息的冗余度，对这类题目作反复的训练，最后归纳出解此类题的规律——公式。这里由分解图1得综合算式：
由分解图2得综合算式：
可见（1）、（2）都是三步计算的应用题，符合小学数学教学大纲的要求。
数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳法发现的”。由①、②可归纳（不完全归纳法）出：
当然还可以归纳出其它形式的公式，比如
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只要记住其中一个公式，问题就解决了，但记住这些公式是不大容易的，如果对它们用语义编码，情况要好一些。比如公式（1）、（2）只是分母的运算符号不同，分母是加的，分数值小了，它求的是“比少”；分母是减的，分数值大了，它求的是“比多”。当然时间一长，总有可能把公式忘掉，或记错，这就麻烦了。因此我们要尽可能设法减少死记硬背，这就得另辟蹊径。 二、线段法
根据题意，作出线段示意图，解题时须确定标准量，并注意标准量的转移。从图3上可以看出：
线段法比公式法解题的思维难度小，但还不够直观，解决这个矛盾只要把线扩展到面，问题便解决了。 三、小长方形法
如图4，用小长方形的个数代替份数，这样可以更直观地把它当作整数问题来解，
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