例5 如图9，梯形的面积是36平方厘米，BE是BC的一半。求阴影部分的面积。
分析与解 将梯形按图10所示等分成3个等底等高的三角形。所以，
阴影部分的面积为：36÷3=12（平方厘米）
例6 如图11，平行四边形的面积是49平方厘米，E是底边上的中点。求阴影部分的面积。
分析与解 将平行四边形按图12所示等分成4个等底等高的三角形。
所以，阴影部分的面积为：49÷4=12.25（平方厘米）
四、运用中点性质等分 例7 如图13，长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点。求阴影部分的面积。
分析与解 将阴影部分等分成与△AEF完全相等的3个三角形
（如图14）。所以，阴影部分的面积为：（10÷2）×（6÷2）÷2×3=22.5（平方厘米）
“韩信点兵”出新招（韩信点兵）有兵3万多，若均分成5营，则余1人；均分成6营，则余5人；均
分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人；均分成13营，则余5人。求兵数。
这是我国古代的一道著名算题，用有关同余的理论来解答此题比较简便，但用整除的知识来解答确也是一个好方法。
解 设兵数为x，由题目可知： ①30000＜x＜40000
②“均分成5营，则余1人”使我们知道：x的末尾数字是1或6，然后又均分成6营，余5人，因5是奇数，6是偶数，所以x末尾数字不可能为6，只可能为1。
抓住“均分成6营，则余5人”和“均分成13营，则余5人”就得到：13|（x-5）、6|（x-5），因（13，6）=1，所以78|（x-5），且经计算商的范围在385和512之间，若设商为n，那么兵数x可以表示为78n＋5（385≤n≤512），x的末尾数字是1，那么x-5的末尾数字一定是6，（x-5）÷78的商n的末尾数字也只能是2或7，这就是说x可能为：30191、30581、30971、31361、31751、32141??39941
41
（相邻两数之差是390）。但由于“均分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人”，因此还得将以上的数检验一下，为了方便起见，可用数的整除特征来检验。当检验得知32141符合题意时，还得继续往下检验，因为有可能不止这一个数，但不必重复前面的步骤。具体做法如下：32141-10=32131，又32131＋390m＜40000，则m≤20，已知11|32131，如11|390m，就有11|32131＋390m，仅当m=11时。则从中可知36431除以11余10，但用来除以7时并不余4，而是余3，表明x=36431是不符合题意的。由此就可确定此题有唯一解，即x=32141。
最值问题解法举例在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最
小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。 一、枚举法
例1 一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？ （北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）
分析与解 开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。 二、综合法
例2 x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是______。（1997年南通市数学通讯赛试题）
分析与解 根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。 即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法 例3 一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b为自然数），a＋b的最大值是多少？（广州市五年级竞赛试题）
分析与解 若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得 43a＋b=一个三位数
因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
42
3
根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24×43＞1000，并不是一个三位数） 当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。 当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。 四、公式法
例4 两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题） 分析与解 设两个正数分别为a、b，它们有以下几种关系，a＋b≥
值，运用此公式，本
题迎刃而解。
即这两个自然数的积的最大值为81。 五、图表法
例5 某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？ （北京市“迎春杯”数学竞赛试题） 分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：
从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为
43
（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）所以这辆汽车至少应有座位30个。 最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。
数列推理的妙用我们经常遇到这样一类问题，即给一列数，要求根据数与数之间的关系，通过分析推
理，得出其排列规律，从而推出要填的数。例如： 在下列各列数中，□内应填什么数？
（1）3，11，19，□；（2）7.9，6.6，5.3，□；（3）□，25，42，59。
这几列数的排列规律是不难发现的：在第（1）列数中，后一个数比前一个数多8，□内应填27；在第（2）列数中，后一个数比前一个数少1.3，□内应填4；在第（3）列数中，前一个数比后一个数少17，□内应填8。 巧妙地运用这种简单的推理方法，我们可以解决一类“消去问题”。今举数列说明如下。 例1 学校计划购买篮球和排球。如果购买6只篮球和5只排球要花263元；如果购买4只篮球和7只排球，则要花245元。问一只篮球和一只排球各值多少元？ 解 把已知条件写成下面两列： 篮球6 4 排球5 7 价值 263 245
首先我们横着看，把它们看成三列数，第一列由6到4，减少2，因此推出第三项的数为2，第四项的数为0，即6→4→2→0；同理，第二列数为5→7→9→11，第三列数为263→245→227→209。上面推理过程可以表述为：
现在我们竖着看，第四列（推出的）数表示0只篮球与11只排球价值为209元，即1只排球为（209÷11=）19（元）。再根据第一个条件，可算得1只篮球为（263-19×5）÷6=）28（元）。
44
例2 甲、乙两人加工零件，甲做11时，乙做9时，共加工零件213个；甲做9时，乙做6时，共加工零件162个。问甲、乙两人每时各加工几个零件？ 解 把已知条件写成竖列，按横列推理：
竖着看：第四列（即推出的最后一列）表示甲5时做60个零件，则每时做（60÷5=）12（个）零件，从而知道乙每时做的零件个数为：（213-12×11）÷9=9（个）
这种解题方法，把已知条件看成数列，而且往递减方向（至少有一列递减）推理，直到有一列的某项为零，就很容易得到结果。上面的两个例子，都是从左往右推理的，如果这样做得不到某列的某项为零时，就可考虑从右往左推理。
例3 某商店出售水果，3千克苹果和5千克雪梨共值22.50元，4千克苹果和2千克雪梨共值16.00元。试问苹果和雪梨每千克价格各是多少元？ 解 把已知条件写成两列： 苹果3 4 雪梨5 2
价值 22.50 16.00
横着从左往右推理，第一列为
??推不出零；第二列为右边的两列）。
→??也推不出零。因此，考虑从右往左推理（已知条件为
45