有感于有先生的作品，觉得对我帮助非常大，我一直也想把复杂的证明归并为感性的认知，学习就是这么一个过程，真的很高兴看到这篇文章，相见恨晚！！！ 116楼 wildbearbaby 2010-04-05 12:49发表 [回复]
我是做数据挖掘的，矩阵的应用也是无处不在
，自己也一直想对矩阵理解的更深一些，但不知如何入手， ，孟老师的这篇文章真是精华啊，谢谢了
115楼 xiehongan123 2010-03-30 20:38发表 [回复]
114楼 cxx1121 2010-03-28 21:48发表 [回复] 大赞啊！ 113楼 匿名用户 2010-03-13 10:14发表 [回复] 112楼 匿名用户 2010-02-11 11:53发表 [回复] 醍醐灌顶，非常感谢，希望能多看到楼主的文章。
111楼 lisp21 2009-01-10 12:46发表 [回复]
博主在主贴中开始提到的问题，即“逆序数”的概念，在下面这个视频里面有一个很好的说明， http://v.youku.com/v_playlist/f1862776o1p5.html
按照李尚志老师的说法，“（向量）空间为体，矩阵为用”，矩阵的引入，从解方程组的角度，也极其自然。
同济这本书现在好像也不把行列式放在最前头了，但是要说明行列式的逆序数定义法，要从二元，三元行列式入手，而对二元，三元行列式的最直观的理解，其实是从空间解析几何和矢量代数里面来的。
李老师说的很好，矢量是什么？满足关于加法和数乘的那八点运算规定的集合的元素都可称为
矢量。故，三维笛卡尔坐标系（人类所熟知的）中的矢量，不过是一种特殊的矢量。
由于线性方程的系数构成行向量，而且也可以进行加法和数乘（三种初等变换是同解变形），故也可称为矢量。
n次多项式的集合同样组成向量空间。
他们之间还可以构成同构。故搞清楚了一个，其他空间也就搞清楚了。
函数也可组成向量空间。如福立叶级数，小波基，其实都可认为是某个线性空间的基。
如此，则向量空间的八条其实就规定了向量。向量是无须作定义的。
同济的书那种写法，如果老师水准不够的话，学生根本不能领会其中精义的。他们原意可能是不想讲的太深，结果却适得其反。
李尚志老师这种讲法，是从线性方程组入手的，从具体的例子出发，各种概念（线性相关，rank）,理论（线性空间，变换），算法（高斯消去）的motivation都一清二楚。这其实才真正体现了理论建立的实际过程。才符合人们认知的规律。
李尚志的行列式引入我觉得是最本质的，看了之后，觉得很爽。
我还看了一下MIT Strang的线性代数的Video，如果论到逻辑的清晰性，应该说可能还不如李尚志的讲法。但是两者毫无例外都是从线性方程组开始讲的。
说句题外话，过去数学发展的历史难道不都是如此？都是从具体的问题出发。伟大的问题导致伟大的理论产生。只是由于法国那批布尔巴基的成员倡导公理化之风后，才把教材给弄成了那个样子，真是造孽。
110楼 lisp21 2009-01-04 10:08发表 [回复]
其实什么东西都是越基础的越难讲清楚。孟兄的文章不失为一种很好的尝试。
比如“时间”，这个似乎人人都理解的概念还需要霍金写一本书来谈，或许，还没有谈清楚。
我是搞视觉的。跟孟兄一样，有点考据癖。矢量这个概念，我查了很多英文书，定义大概有100多种，但是也是众说纷纭。
在视觉里面，三维重建里面最近所谓分层重建的办法比较成功。后来Yi ma，Heyden等从微分几何，代数几何的角度说的比较本质了。
建议孟兄看看这本书，
http://www.cis.upenn.edu/~jean/gbooks/geom2.html 这本书的第二章，
http://www.cis.upenn.edu/~cis610/geombchap2.pdf我觉得写得颇为本质。
说到底，牛顿，莱布尼茨当初建立微积分的时候，对分析的很多东西也都不透彻了解（所以牛顿被贝克莱主教问得比较狼狈）。但这并不影响他们的伟大。
或许无穷小这个东西，到了现在，算是有个比较靠谱的说法。但说起来，对于无穷大，今天人类的认知又有几何呢？当年Cantor不是还被当作神经病了么？
从本质意义上，或许不定义是对的。总有一些东西是无法用语言界定的。比如一本字典，总得有些字汇不能加以定义，只能借助直观的说明。所谓公理化的方法也是如此，希尔伯特不是对点，线，位置这些东西就没有定义吗。
我个人觉得，不加定义恰是一个优势。如果给矢量一个定义，如有向线段，那该如何理解泛函中的那些“矢量”？正因为不加定义，而只规定对象上的一些运算，故而线性空间才能无处不在。这背后是范畴论和同构的观念了。
中国的周易从某种意义上就是这么一个动力系统。金木水火土都没有定义，而只有一些直观的表现。比如，女人是水做的，。。。
其实面向对象的思维模式，正暗合数学里面的算子理论。。。
109楼 songkuiyan 2008-12-31 09:57发表 [回复]
同感
在准备研究生考试，线形代数看了好几遍，不知道在说什么，读了这遍文章茅塞顿开
108楼 insulted 2008-09-01 16:36发表 [回复]
这么好的文章今天才看到，相见恨晚就是我现在的心情！ 107楼 peimichael 2008-08-07 13:18发表 [回复]
顶一下，好文章！
大学期间我就是你说的那种学着觉得特抽象，然后开始抄作业的人。
结果在复习考研的过程中又认真看了线性代数，发现搞懂了之后真的很有意思。
其实我内心是很喜欢数学的，都是这些枯燥抽象的数学教材让我总觉得它很虚，只告诉你怎么做，却不告诉你为什么这么做。
很多老师最喜欢说“知其然还要知其所以然”，但是几乎所有教科书都对所以然绝口不提，就算老师自己都未必明白，叫我们学生怎么能完全把握住这个东西？ 好文收藏。
106楼 stargazer15 2008-05-28 00:39发表 [回复]
楼主真应该去当大学老师,学生会喜欢你的 105楼 minszch 2008-05-27 07:02发表 [回复]
今天才看到这么好的认识！感谢版主。
我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊
104楼 minszch 2008-05-27 07:01发表 [回复]
今天才看到这么好的认识！感谢版主。
我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊
103楼 minszch 2008-05-27 07:00发表 [回复]
今天才看到这么好的认识！感谢版主。
我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊
102楼 minszch 2008-05-27 06:59发表 [回复]
今天才看到这么好的认识！感谢版主。
我也是数学迷，上大学时曾经也算是数学高手，学线性代数时真有此感，好文真痛快！ 还有对复变函数的认识，也存在抽象和直觉的问题啊。看到过霍金有虚时间，虚同实是垂直的，虚是客观存在，二元数，多元数，是否又是向量的概念，当然这种是正交的。盼望孟老师有高论啊
101楼 minszch 2008-05-27 06:50发表 [回复]
深刻！这种认识到底是要自己来悟，还是应有老师来早点开窍呢？ 100楼 yilinjun 2007-11-10 17:54发表 [回复]
好啊，教材要是这么写能学不好吗？ 多谢，期待下一章！
99楼 BlueDog 2007-11-07 16:50发表 [回复]
观君文一篇，胜读十年书。 98楼 n_q_r 2007-11-07 11:00发表 [回复]
线性代我数我就不数了。。。
97楼 Tom_fay 2007-11-05 20:15发表 [回复]
线性代数给我的感觉是概念多, 公式多, 但规律性强. 以前家里穷, 没有机会上大学, 我是自学考试毕业的, 我也学了线性代数, 考了3 次才考66分... 96楼 guoguofish 2007-07-29 16:03发表 [回复] 好文，中国就缺楼主这样的热心人！！！ 95楼 guoguofish 2007-07-29 15:34发表 [回复]
好文章，中国就缺你这样的，热心的人才！！！
94楼 Union 2007-06-18 20:21发表 [回复]
楼主你的高尚情操太让人感动了。能见到楼主这样的性情中人，无疑是我这辈子最大的幸运。让我深深感受到了人性的伟大。楼主的帖子，就好比黑暗中刺裂夜空的闪电，又好比撕开乌云的阳光，一瞬间就让我如饮甘露，让我明白了永恒的真理在这个世界上是真实存在着的。只有楼主这样具备广阔胸怀和完整知识体系的人，才能作为这真理的唯一引言者。看了楼主的帖子，让我陷入了严肃的思考中，我认为，如果不把楼主的帖子顶上去，就是对真理的一种背叛，就是对谬论的极大妥协。因此，我决定义无返顾的顶了！
93楼 小黑 2007-06-09 22:50发表 [回复]
好文章啊!唤醒了中国的一代人,中国因有你而骄傲!呵呵 92楼 mycicisky 2007-04-15 03:25发表 [回复]