过瘾,不错.真的.虽然有不同意思,但要明白,造就一个瓷器本身远比发现它上面的斑点要难得多.......我最近在想几个低级的问题,一直没有理解.就像楼主所言,现在编书的本身头脑也是一处混沌...比如:
一:关于行列式与矩阵的深刻关系是什么?具体一点,为什么二者运算法则根本不同,而|A|=0能断定A不满秩?|A|=0的情况下,A尽有哪些可能?是不是只有下面的可能?{1.某行(列)全0; 2.某行(列)可以由其它若干行(列)线性表示?};如果是,如何证明或是理解? 虽然可以从写字母出发来说明,但还是不直观...比如,A满秩可逆=>可以分解为多个初等矩阵p1p2p3...=>|A|=|p1p2p3...|=|p1|*|p2|.../=0
所以"A满秩=>|A|/=0"; 逆否,==;|A|=0=>不满秩".
109楼 Zrw_hunter 2006-05-30 19:01发表 [回复]
具体问题二:
为什么各特征值相乘=|A|;∑[特征值]=∑[对角元]??? 内中有何妙玉?
108楼 勇泽 2006-05-28 12:38发表 [回复]
宏观的我们都解释不清楚,还去讨论微观的,宏观运用好就足以解决大部分问题了.等我么能熟练鱼鹰宏观在去研究微观的.
107楼 myan 2006-05-21 14:03发表 [回复]
to wjl:
清华大学影印出版的《数学拾遗》是这方面一本不错的小书。而最近高教出版社引进的俄罗斯数学教材中，《函数论与泛函分析初步》是讲函数论的一本不错的书。
总的来说，国外的书在这方面好一些，但是大部分著作仍然还是很干涩的。
我正准备阅读另一本重要的矩阵方面的著作，期望能刷新自己的一些理解。所以《理解矩阵》的最后一部分可能会拖一段时间才出来。
谢谢你的关注。
106楼 wjl 2006-05-20 20:06发表 [回复]
我现在还在学习矩阵论，很希望能看到后续的文章。
孟老师可否推荐几本讲矩阵、空间、数学分析、函数分析的书？能够像《理解矩阵》这种文章一样讲述数学原理背后的来龙去脉。中英文皆可。
读《理解矩阵》，受益非浅，《理解矩阵1》里用蓝字提出的那几个问题正是长久以来困惑我的。正如孟老师所说，一般数学教科书习惯以抽象的方式来解释矩阵中的各种概念、把它们之间的来龙去脉付诸与一堆数学证明。作为工科学生（我在上交大读计算机），我非常不接受这种生硬的诠释方式。
105楼 wjl 2006-05-20 19:55发表 [回复]
我现在还在学习矩阵论，很希望能看到后续的文章。
孟老师可否推荐几本讲矩阵、空间、数学分析、函数分析的书？能够像《理解矩阵》这种文章一样讲述数学原理背后的来龙去
脉。中英文皆可。
读《理解矩阵》，受益非浅，《理解矩阵1》里用蓝字提出的那几个问题正是长久以来困惑我的。正如孟老师所说，一般数学教科书习惯以抽象的方式来解释矩阵中的各种概念、把它们之间的来龙去脉付诸与一堆数学证明。作为工科学生（我在上交大读计算机），我非常不接受这种生硬的诠释方式。
104楼 newbee 2006-05-17 13:26发表 [回复]
曾经也向孟老师一样感悟线数，至今记忆犹新的就是对秩的理解，求秩的过程其实就是在消除冗余，而这种冗余性放在线性方程组里来看是最好理解的，继而明白了初等变换的目的，极大无关组的意义。感觉线数有些概念有个很好的切入的话，其他的一通百通，个人觉得线数是一种耦合很高的体系
103楼 hutoo 2006-05-16 23:37发表 [回复]
写的很好。在碰撞中理解思想，结果本身就是变化的。希望能整理出书偶要买：） 102楼 狂想的蛇 2006-05-17 01:04发表 [回复]
很感谢能潜心整理出这么深刻的道理！
101楼 刘泽围 2006-05-15 18:42发表 [回复]
什么时候出第3篇啊？！！！强烈期待啊！！！！ 100楼 vivian 2006-05-14 21:19发表 [回复]
很好！希望能多欣赏到你的文章
99楼 ismile 2006-05-14 10:24发表 [回复]
"做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。"
这个4×4仿射变换的矩阵实际上就是齐次矩阵，一种三维向四维变化方法。楼主要讲清楚
98楼 大虾 2006-05-08 21:55发表 [回复]
楼上的各位大虾都是猪头,受不住,哇哈哈 97楼 doggyzone 2006-05-07 21:48发表 [回复]
很喜欢myan关于猪的那个比方。不知道这样扩展一下所谓线性变换的概念大家喜欢不喜欢：
用照相机照一头猪，你把照相机从一个地方移到另一个地方，然后把猪向相反的方向移动相同的距离，得到的照片还是一样的，这就叫线性变换:)
96楼 Armstrong_wang 2006-05-07 14:56发表 [回复]
孟岩对矩阵还这么有研究，佩服啊！上学期考矩阵论，硬是背了一些公式和习题才考了c+。真是不喜欢数学啊
95楼 moonzhao 2006-05-07 17:16发表 [回复]
都是最基本的知识
94楼 hehe 2006-04-27 00:21发表 [回复]
楼主将矩阵用运动来加以描述是一个不错的想法
不过依然有一些缺陷
1. 楼主自己对运动的含义进行了扩展,
但是在对读者建立直观概念的时候实际上又用到了传统的运动概念,
有点偷换概念的嫌疑
2. 矩阵产生的线性变换大多是在不同的空间之间,将这个也推广为运动,有点 ...
另外, 个人感觉, 矩阵是来源于线性方程组, 从这个角度入手应该更加直观
至于,对于相似性的解释, 还是相当不错的
93楼 Francsescoli 2006-04-24 11:51发表 [回复]
“伟大的物理学家都是伟大的数学家，数学中的各个模型、公公式式都是物理学家提出来的，目的是为了验证或表述物理现象或试验，因为在他之前没有相当的数学理论可用来解释...”。这是我们的物理老师教给我们的一句话，我觉得很有启发。myan老兄认为如何啊？
92楼 刘典 2006-04-23 17:41发表 [回复]
"真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。"
太感谢孟老师了，如果上天给我一次请您吃饭的机会我会请您去北京最好的饭店吃一顿！！！
91楼 xixi 2006-04-23 01:13发表 [回复]
理解矩阵（二）
非常喜欢这样的文章, 看完后又有重学线性的想法, 要是我在大学里能有这样的老师多好啊(或看到这篇文章). 不多说了, 看书去. 90楼 意识电路 2006-04-16 22:41发表 [回复]
tomyan；您“为了试验一种新的描述知识的方法，就是认识——修正不断循环上升的过程，而不是像教科书上那样一上来就讲真理，不管别......”
“但是我觉得他似乎将把数学中很多“巧合”看成是理所当然的，世界是建立在偶然巧合上的，或者是上帝的兴致所至。我不太能接受这个观念。人接受不接受的了。”
“人类认识问题必然是从特殊到一般，从具体到抽象，从错误到不这样的真理，脱离开其形成的思考实践，就是一句毫无意义的废话”
对于不易理解的事物形成理解，这本身就是真理发展的过程。,可以肯定的是人类目前的认知能力还不能确定事物之间普遍联系的相互关系。所以只好把可以确定的部分强硬的规定起来。这样的行为显然不被具有独立思想的大脑所接受，所有思想着的大脑也从来不接受所谓“上帝”强权的愚弄与欺骗。但截止于目前所谓“巧合”中的必然还未被揭发出来。我认为是诸多问题的不被意识理解的总原因。愿理解您的意愿，支持你的行动。但仅限于数学的理解我也可以告诉您这是无望的。理解是事物统一必然的思想出发和终极归宿。
89楼 东阳 2006-04-16 18:33发表 [回复]
我的这位老师是叫我数学分析的，他能够把很多东西串起来讲，所以他的学生对他是很崇敬的.我经常问他一些其他的数学问题，受益匪浅。我想有事每个人站的角度不同，得出的结论也自然不同，没有必要把自己的看法强加给别人，求同存异，和而不同，我觉得才是王道啊。
小子无知，诸君莫怪
88楼 东阳 2006-04-16 18:26发表 [回复]
你的这种想法——对本文受众更好的理解问题提供一种可行的方式，我同意，而且本身就是一个受益者.但是从另一个角度来看，作为教科书，并不能按你这种方式来写，他必须告诉人们数学的严谨和数学的美，从教科书的角度看，它对读者的要求是比较高的，如果读者能将一本教科书吃透，也就足够了，单对数学的深层次的理解并不是一朝一夕的事，用我老师的话来说，它需要用文火来慢慢熬，才能熬出味道来.我十分赞同你这样的一种理解问题的模式，但理解问题的模式并不只有一种。很幸运的是，因为我不是学微积分，而是数学分析，现在数学分析和线性代数，两门课的很多东西现在都能够串起来，所以感觉很棒。但是之前一段时间却学得很郁闷，正是对一些公式定理的不能理解导致的，但现在还是一样有了感觉了。对于初学者，建立一种直观的联系是很有必要的，但是不必过分强调，因为很多东西并不能直接从直观上看，过分追求直观可能导致牵强附会.直观的解释作为一种启发式的东西，仍然是价值巨大的.
支持您继续写下去！
87楼 myan 2006-04-16 10:41发表 [回复]
to 东阳：
我丝毫不怀疑大部分合格的数学老师都对矩阵以及其他数学对象的意义进行过深入的思考，但同样也毫无疑问的是，无论他们是怎么思考的，他们的教学方式却仍然是按照大
纲要求一板一眼的来进行。这当然有很多正当的理由，不过这些理由的存在也就构成了我写这种文章的理由。我写这个东西的根本目的，是为了试验一种新的描述知识的方法，就是认识——修正不断循环上升的过程，而不是像教科书上那样一上来就讲真理，不管别人接受不接受的了。这种态度背后是一种蛮横，潜台词是：保证数学的伟光正形象要比教育本身的目的更重要，你们学不会是你们笨，而数学的形象必须始终光辉夺目。这不是教育者的心态，这是宗教家的心态。
坦率地说，我对于你的老师给出动的答案并不十分满意。当然，这肯定不是因为你的老师水平的问题，他作为专业数学教师，水平肯定跟我不能同日而语。但是我觉得他似乎将把数学中很多“巧合”看成是理所当然的，世界是建立在偶然巧合上的，或者是上帝的兴致所至。我不太能接受这个观念。我知道矩阵的若干意义，但是希望能知道是不是其中有一个意义是根本的，其他的意义都是派生的。当你这样看一个对象它是这样的，而那样看对象就成了另外一个样子的时候，你一定会希望弄清楚这个对象本质是什么样子的，而不是就此止步，把秘密留给上帝。
这个系列还没有写完，这是因为在写的过程中，在与读者交流的过程中，在继续阅读和学习的过程中，我又有些体会，但是还不成熟，总结不出来。但是我的基本思路不会变，写东西的目的要让人理解，而不是让自己爽。人类认识问题必然是从特殊到一般，从具体到抽象，从错误到不那么错误。象“矩阵就是一堆数”这样的真理，脱离开其形成的思考实践，就是一句毫无意义的废话。
86楼 东阳 2006-04-16 08:40发表 [回复]
我将孟老师的几个问题请教我的老师,给的答复是这样的:
能思考一些东西，很好. 但不能太过于执着。重要的是理解定义。有的问题的答案直接来自于
定义。
矩阵是什么？
1. 矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一些运算规则。
2. 矩阵是一列向量，如果每一列向量列举了对同一个客观事物的多个方面的观察值。
3. 矩阵是一个图像，它的每一的元素代表相对位置的像素值，
4. 矩阵是一个线形变换，它可以将一些向量变换为另一些向量。
所以要回答“矩阵是什么”，取决于你从什么角度去看它。折也从某种意义上说明了为什么矩
阵有那么大的应用性。
一系列的同维向量，可以组成一个矩阵，同样，一些同阶数的矩阵可以构成一个张量（你可以
称之为三维矩阵）。
行列式来自于表示线形代数方程组解的表示（克莱姆法则).不必对其太过于神往。行列式的理
论意义大于实际意义，实际上，行列式的实际应用价值不大，实际计算有数值上的问题与困难
。
当你明白行列式的具体定义时，你自然明白为什么不能定义一个非方矩阵的行列式。
矩阵的分块，只是为了便于运算。分块不能使随意的，如果要进行矩阵的乘法或加法运算。
矩阵的一些运算现象，如(AB)^T = B^T A^T, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},是由其所定义的运算
规则所决定的，没有什么可以奇怪的。
行列式也有类似的规则，如：|AB| = |A||B|。
如果将矩阵看作为一个线形变换，则特征向量是矩阵的一个“不变”量。
这里所谓的不变量是指变换前后的两个向量是平行的（在平行意义下的不变方向）。矩阵对这
样的向量的变化结果，是对这个向量作数乘。在这个意义下，矩阵就“等价于”这个数。具有
这种特性的向量刻画了矩阵本身的一些几何特点。
Re: feixiangjjg 2011-01-01 19:15发表 [回复]
回复东阳：
我的一点浅浅的理解：
数学本身就是从生活中直观的东西悟出来的，人们应该很难