另——所谓直观与抽象的区别。我想不能刻意追求直观，直观只能是在理论的某一部分，当然直观是什么也是个问题，是指与现实世界的联系吗，这是一部分，但不是很大一部分。如果对数学学得好，并不是一定要懂这些联系的，但却必须对数学符号所描述的联系有很清楚的理解。 数学只是在一些先验的假设基础上再去研究这些假设之间的关系而已，当然借用的是我们的逻辑。这我想是罗素写《数学原理》的想法吧（很抱歉，没看过，只是对哲学有些了解。）。 我想说的是直观不是数学研究的重要部分，最多是一个生活的启发，或者满足某些人喜欢对事物来龙去脉搞清楚的兴趣。因为数学更是逻辑本身的体现。
如果你一定要问数学有什么直观的意义，那有时候是可以的，有时候却可以说只是我这样定义了而已。（好象有点哲学的味道） 不知道我把我的想法解释清楚了没有。
138楼 GlietBoy 2007-11-05 23:49发表 [回复]
老岩又可以当数学家了。对其中的数学定义和表示法的表述，本人觉得不好。老岩同志，下次，希望您写的东西，能表述准确些，而不是刚入大一新生。呵呵。
希望用语准确些，科学毕竟不是小儿吵架,特别数学。我的大学高等代数老师有一句在系里有名的名言：“数学是要以理服人的！”
137楼 oyd 2007-11-05 16:32发表 [回复]
孟岩先生：
对于什么是线性变换的你的那个通俗说法：
“而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。”
我反而看了之后更糊涂。倒不如T(ax + by) = aT(x) + bT(y)直白。虽然这个式子的含义我也没太懂，但由此我至少知道线性变换是有这么一个性质的。
而你的这个解释，我就只好理解成线性变换就是线性空间中的变换，这不说了跟没说一样吗？
或者至少你举一个非线性变换的例子，再通过对比来说明一下线性变换的本质，不然我还是只有一个公式化的认识。
136楼 hannah_s 2007-09-07 11:17发表 [回复]
受益匪浅！请一定要继续写下去。 135楼 win. 2007-08-14 13:33发表 [回复]
真是知己啊!你写的文章好像一盏明灯,把我从生涩,无头绪的数学公式说教的昏暗世界解脱出来,我是学工科的,但是往往在学习某一门课程时无论什么都想思考出它的真谛与实质,随着所学的知识越来越多,思考的就越多,但是捆扰我的就越多,真的,往往对事物的本质探究的多了,就要把它上升到一种哲学的范畴,往往被别人看作不是问题的问题也可能也要努力思考出它的本质,我
很佩服作者的勇气和能力,很多人在学习自然科学时是把它仅仅做为知识,或者是工具去学习,但是自然科学的学习中蕴涵着犹如佛教中\悟\一样的过程,我这么说并不是说自然科学是迷信,但是在学习自然科学中真有种\只可意会,不可言传\的感觉,这种感觉就是我们对实质的感悟,它并不是完全理性的,而是建立在理性基础上的对事物实质大彻大悟的感性理解.而作者正是在努力用文字的形式去传达这种对这门学科的最真实最直接的感悟,太好了,真的希望看到你的下文和其他文章!!
134楼 dahuatttt 2007-08-06 14:01发表 [回复]
一年多了，就是没有下文了。。。
呼唤孟岩继续写下去
133楼 mycicisky 2007-04-15 04:07发表 [回复]
半夜看完醍醐灌顶的感觉嘿嘿以后有机会接着上学学（先攒够银子：） 突然想到当年高中数学老师甄老师曾给我们讲过：“数学是世界上最美的语言！” （呵呵也许是甄老师的老师讲给老师的话经典！）
132楼 mycicisky 2007-04-15 03:59发表 [回复]
过客不留名发表于2006-04-08 01:28:00 IP: 58.67.30.* 写给楼上的<过客不留名>
整个哲学体系里面，我只看过几本存在主义，几本尼采，基本没看懂，我对哲学几乎一无所知，我很羞愧。
我只是一个 programmer on the street
你虚心的问我：么和现实世界有关系，我告诉你，物理、化学、生物，医学，都和现实有关系
你虚心问我：什么是现实世界，我告诉你，你所在的空间就是现实世界
它满足 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 + 1/t^2 = 0 (这个方程记不准确了)
知识是灌水的唯一源泉
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请问物理、化学、生物，医学这几门那个能离开数学独立存在？!
131楼 我的 2006-11-22 15:01发表 [回复]
我是想来看实际应用的,要交作业的,看了半天,没有能让我抄一点的东西..................晕死 130楼 pc的情人 2006-09-14 15:01发表 [回复]
我一直认同，数学意义在于其表征现实世间的某种内涵。如果不能找到内涵所在，纯粹的逻辑符号没有意义。对于线性代数，我跟作者一样，一直思考其中的内涵所在，特别是关于特征值和特征相量的思考。特征值我只能在二次型和协方差中才能找到理解的基点。作者的理解方式给我另外一种理解方式。网上有很多你的文章转贴，终于找到原作者了，谢谢你的用心。希望再能看到作者的其他文章。
129楼 bart 2006-08-30 18:57发表 [回复]
不错的文章，我基本是看了你的这篇文章后才学好线代的。
你再来一篇关于复变函数和积分变换的吧。
128楼 qiuryaq 2006-08-10 08:19发表 [回复]
矩阵的一些运算现象，如(AB)^T = B^T A^T, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},是由其所定义的运算
规则所决定的，没有什么可以奇怪的。
X, X', X'' 是向量，e, e', e'' 是相应的基。
A: X -> X'; A^(-1): X' -> X; A^T: e' -> e;
B: X' -> X''; B^(-1): X'' -> X'; B^T: e'' -> e';
AB: X -> X''
(AB)^-1: X'' -> X = X'' -> X' -> X (B^-1) (A^-1)
(AB)^T: e'' -> e = e'' -> e' -> e (B^T) (A^T)
127楼 qiuryaq 2006-08-10 08:27发表 [回复]
我认为矩阵变换这个词很好，干什么要叫运动呢？ 上面所发是我看了孟岩老师文章后想出的，也不知对不对。
126楼 wizard13 2006-07-28 17:57发表 [回复]
受益良多
非常期待下文。。。
其实直观的理解问题，一直是我初中，高中时所追求的。以前老师讲解题目，我觉得别扭的一定会深入的研究下去，有时就让我发现老师讲错，有时就一直证明到自己把问题理解的足够自然。最记得有一次，我上数学课对老师前面讲解的一个问题提出质疑，说她（女老师）讲错了，她火了，因为我经常提一些这样的疑问，结果她坚决不理睬我，对我的质疑置之不理，当面全班人的面，还让我旁边的班长站起来硬说我是错了。哈哈，可是我提问之前已经给班长看过我的证明了。结果班长站起来就选择沉默，低着头。。。。哈哈
125楼 xuedingxiang 2006-07-19 09:34发表 [回复]
"线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。"
期待对赋范线性空间，内积空间，希尔伯特空间的精辟阐述。
124楼 xuedingxiang 2006-07-19 09:27发表 [回复]
感谢MYAN.
123楼 xuedingxiang 2006-07-19 09:26发表 [回复]
连续读了两篇文章，对矩阵的概念有了新的认识，特别是矩阵是线性空间里变换（运动，跃迁）的描述，我认为是比较新奇的。
122楼 Don 2006-07-15 22:00发表 [回复]
看了您的文章:理解矩阵，受益匪浅
在这里向您请教关于Quaternion的问题:
我想知道Quaternion何以能表示一个旋转？
我怀疑Quaternion和相似矩阵，特征向量，特征值有一定的关系
因为他们都有一种相同的表达式 qPq-1
是这样吗？
期待您的回复
谢谢
blog.csdn.net/dingounan
Inside Out: Camera
121楼 KAKA 2006-06-12 12:23发表 [回复]
To 孟某：
It's a explicit template instantiation declaration to export the STL class instantiation from the DLL
It exports the cos function for complex<double>, not about template partial specification.
不是什么“特化”，也不是什么“特别优化”
120楼 zrw_hunter 2006-06-01 22:49发表 [回复]
TO myan:
汗,我本来就是读者之一....只是看了以后,觉得想理解理解,自己就在那里面悟了悟了...全是个人的体会...
我真的还没想去查一些东西...觉得你在这方面比我专业多了...不过我会尝试一下...只是时间太忙了.
119楼 myan 2006-06-01 20:02发表 [回复]
to zrw_hunter:
我觉得你对于|A|的解释是在用古拉丁语解释古希腊语，越解释读者越糊涂，最好的结果不过是你自己一个人闷爽。当然我相信你是明白了一些的，不过建议你应改试着用更简单的观念来解释行列式。
给你一个提示：行列式的确是反映线形变换前后的一种量的比较关系，但是到底是什么量呢？请查一些经典的矩阵论文献。
118楼 zrw_hunter 2006-06-01 09:14发表 [回复]
To CCC
哈哈,我比你混得好多了. 工作几年,二套房子在手,年年薪十万. 去年本行业的第一次注册,本人也过了.
决定不跟你说了.浪费.
不喜欢耍小聪明的人.
117楼 CCC 2006-05-31 22:59发表 [回复]
刚工作吧。随意攻击别人、肮脏地说话，只说明自己的品质暴露，还"我IP变了"，另外你是要考研吧，真可怜。。。
116楼 Zrw_hunter 2006-05-31 18:47发表 [回复]
首先我告诉你,我不是河南人.老家山西,湖北上学,郑州工作.
其次我告诉你,河南一亿人,你丢下去也就是中下等.
最后告诉你:我IP变了. 115楼 Zrw_hunter 2006-05-31 11:31发表 [回复] 期待下文......
像CCC这样的食品分解器,不值得在这里出现.
114楼 CCC 2006-05-31 12:36发表 [回复] 河南人吧，理解。。。 113楼 Zrw_hunter 2006-05-31 11:17发表 [回复]
修正一下:
"|A|表示矩阵A所对应特征向量在相应线性变换前后总矢积的线比系数(或是缩放系数),其中经由代数重数不等于几何重数的所得特征向量要视为重合."
112楼 Zrw_hunter 2006-05-31 11:03发表 [回复]
跟欧阳锋炼九饮真精一样,想了好多东西,自己也悟出不少...但就像说梦话...其中之一是:
"|A|表示矩阵A所对应特征向量总矢积的线比,其中代数重数不等于几何重数的所得特征向量要视为重合."
:),,,妈妈呀,我都快迷了......
111楼 Zrw_hunter 2006-05-30 22:52发表 [回复]
从坐标的旋转想开去,感觉矩阵好理解些.其它也是...... 110楼 Zrw_hunter 2006-05-30 18:34发表 [回复]