好文，后面的讨论也非常好
让人受益匪浅
期待继续
惭愧啊，自己的大学时间都荒废了
55楼 liangzi 2006-04-08 09:34发表 [回复]
不过矩阵的本质描述运动，我曾经也这样认为，是看书做题的时候很自然的得出来的。
但现在又对这个想法有点迷惑了。呵呵
54楼 liangzi 2006-04-08 09:27发表 [回复]
赞一个!!! 53楼 pjf506 2006-04-07 10:17发表 [回复] "另外也确实有抛砖引玉的想法，想提出一种新的讨论数学的思路。"——既然如此就要谦虚一点，不要辩解太多。。
52楼 Solstice 2006-04-07 11:04发表 [回复] 明明大家是在讨论问题，到你眼里就成了“辩解”？！ 51楼 INmyan 2006-04-05 16:49发表 [回复] 继续关注,好文,更好的是态度 50楼 Shellyong 2006-04-06 10:16发表 [回复] 希望楼主再接再厉
真是一篇好文！ 49楼 Solstice 2006-04-05 14:42发表 [回复]
我学得不深，莫非是平移后的 sinc 函数？
48楼 byn 2006-04-05 13:21发表 [回复]
to myan:
谢谢你的回复。
首先我要向你表示歉意：我昨天晚上写得有些话太刻薄了，请见谅。
1. 从度量空间开始？
恐怕离题万里，读者没兴趣了解。
[byn] 从
上下文来看，给读者的印象是“拓扑空间”好像是所有空间的基础。实际上，泛函分析就是从度量空间开始讨论的。如果说离题万里，那么拓扑空间好像也没有在此文章中做后继讨论。我想把讨论定义在有限维线性空间的基础上是比较合适的（也比较符合这里大多数人的数学背景）。
3.读者不明白，就不愿意看，不愿意想，你写得再伟光正，又有什么用呢？
[byn]那么在文章中所有“空间”的前面加上“线性”二字可不可以呢？这样做对数学功底不深的人不会造成任何理解上的影响，从严谨性上讲又好很多。你文章的思路是要从欧式空间推广到更一般的空间，但是这一步迈得似乎有些太大了。（个人意见）
最后谈一点我的看法，就当凑个热闹：
我觉得研究生期间有两门数学课是必须要学的（必修的数值分析和概率论与数理统计之外）：一门是泛函分析，另外一门是矩阵论。
矩阵论的重要性工作时间长了就能慢慢体会到，但是大家一般对泛函分析不太了解，所以也就很难认识到其重要性了。事实上，泛函分析虽然很抽象，很难直接应用到工作当中去，但是可以帮助我们对很多问题有一个更本质的认识。举两个例子：说到采样，大家的第一反应肯定是一个词“2倍”（采样定理）。学得比较扎实的，可能还会把为什么是2倍解释清楚。但我对采样的理解是：采样实际上是在进行正交分解，采样值不过是在一组正交基下分解的系数。如果原信号属于该组正交基所张成的线性子空间，那么该信号就能无失真的恢复（满足采样定理）。学过信号处理的朋友，你知道这组正交基是什么吗？:)第二个例子是关于为什么傅里叶变换在线性系统理论中如此重要？答案可能五花八门，但我认为我的理解是比较深入的：原因是傅里叶基是所有线性时不变算子的特征向量（和本文联系起来了）。这句话解释起来比较费工夫，但是傅里叶变换能和特征向量联系起来，大家一定感觉很有趣吧。
47楼 myan 2006-04-04 21:41发表 [回复]
to byn:
首先感谢你提出的意见。有些地方批评的很对，我会在以后改写是采纳。各条意见分别答复如下：
1. 从度量空间开始？
恐怕离题万里，读者没兴趣了解。
2. 关于“第3条”
这句话我的表达不严谨，应该是说“不是所有的空间都具备”。
3. 关于空间的定义
在这个《理解矩阵》的系列里，我试图用一种新的“启发式”的方法来讨论数学，这种方法不是一开始就要说绝对正确的话，不是以不犯错误为目的，而是以有益于读者理解为目的，为了直觉性，我不惜一开始犯一些错误，比如给出一些数学概念的不那么严格、但是容易理解的定义，然后在后面的过程中不断地修正这个定义，最后到达“正确”。你会看到，我在《理解矩阵（二）》中已经修正了矩阵的意义。还没有完，在第三部分中我会再次修正其意义，以后可能还要再修正一次，才会达到让任何人跳不出错的地步。我当然可以一开始就给出一个绝对正确的定义，抄书就是了，最容易不过。但是直觉性就不存在了，读者也就理解不了了。
同样的，空间的定义也会在后面的系列中修正。事实上，把空间定义为容纳运动的容器肯定是不严谨的，你说的度量空间不能容纳运动，我还能找到一些不能容纳运动的空间，比如概率论里有样本空间，也不能容纳运动。但是没关系，现在先这样说，对于习惯了三维空间的普通读者来说容易理解，以后再进一步抽象，人家也就跟得上了。如果一上来就拿非常抽象的概念说事，你有信心读者能明白么
？读者不明白，就不愿意看，不愿意想，你写得再伟光正，又有什么用呢？
当然，我应该在整个系列开始的时候说明这一点，免得别人看了一半就以为明白了，把半成品当成宝。这是我的疏忽，感谢你指出。
4. 关于你举的这个例子
注意你的矩阵[0, 0; 2, 1]是奇异矩阵，奇异矩阵代表一种奇异变换，在这里我希望尽快建立关于矩阵知识的主干，不想一开始引入那么多的细节和特殊情况。请参看《理解矩阵（二）》中我的说明。并请体谅。
这是个blog，不是学术文章，我本人不是数学科班出身，以前数学烂得要死，现在的水平也非常有限，写这个东西也是一时兴起，另外也确实有抛砖引玉的想法，想提出一种新的讨论数学的思路。
46楼 myan 2006-04-05 08:41发表 [回复]
to INmyan:
你的想法可能太具体，所以很难想得通。不过追求直觉思路跟我是一致的。
转置是个不容易说清的问题，我有一个解释，但是自己不是很有把握，让我再想想吧。
行列式就更不容易说清了，好在有本书上谈过这个问题，但还是不容易说清楚。我会在后面的文章里试着说说这个事。
谢谢。
45楼 INmyan 2006-04-05 00:39发表 [回复]
我谈下我对刚才的2个提问的想法,烦请帮我指正下是否合适,或者是否正确:
假设有3个质点,每个质点又有3个衡量量分别是:
(1)自身内部的分子热运动(这个有点不合适,你能想个更好的吗)
(2)自身速度
(3)受到其它2个质点的万有引力的合力
那么,转置之后,变成了无法解释的情况
如果转置之后的行列式变成特殊形式的行列式,如:范德蒙特行列式
可能会出来一个"-"(负号),而可能会得到行列式的结果值(它又代表
了什么意义??-----仅仅得到: 系数行列式结果不为0,所以可以使用行列式来研究线性方程组吗??)
-------------------------
顺便再提一个问题:
为什么当D!=0时,可以通过研究行列式来研究线性方程组,这种转化好像就解释不通了.
44楼 INmyan 2006-04-04 23:30发表 [回复]
问几个问题:
(1)当一个n*n的方阵的系数矩阵D!=0的时候,可以使用行列式来解,假设是3*3的的情况下,行列式为什么可以转置??
(2)转置之后为什么能和原来的相等(这个相等表示的是什么意思??)这个能否解释一下??
我更希望您从直观或者"直觉"的角度解释一下,而不是数学的角度
谢谢!
43楼 byn 2006-04-04 20:07发表 [回复]
[myan]首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
[byn]请从度量空间开始吧。度量空间可以是没有任何结构的。
[myan] 而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。
[byn]其它的空间怎么不具备？内积空间就定义了长度和角度。怎么不是关键的性质？问问教分析的老师，学学泛函分析，看看角度的概念在内积空间中关键不关键？
[myan] 只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。
[byn] 我定义一个度量空间如下：桌子和桌子的距离定义为1，椅子和椅子的距离定义为1，桌子和椅子的距离定义为0。（这个定义是符合度量空间的要求的）。这个空间没有任何的结构，请问容纳了什么运动？
[myan] 线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。
[byn]直接从欧氏空间就简单的推广到线性空间未免大胆了一点。比如说：无穷维的线性空间虽然存在着基，但是几乎无法知道它是什么（这里的“几乎无法知道”是数学上的概念），所以是无法把它表达为向量形式的。当然，我们做工程的人平时接触的都是有限维空间，在有限维这个前提下，上面这句话我认为是正确的。但是既然这里是在讨论数学问题，这么写就不太合适了。
[myan] 很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个
向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
[myan] 如果是这样，我想请问：一个二维欧式空间，从点[1，2]移动到点[0，4]，这个运动可以用矩阵[2，-1；0，2]实现，也可以用矩阵[0，0；2，1]实现。请问到底哪一个矩阵代表了这个运动呢？如果如你：所说空间中的运动是指从一个点运到另外一个点，这两个矩阵所代表的运动又有什么不同呢？或者说，为什么相同的运动会有不同的矩阵表示呢？
42楼 wenxin 2006-04-04 19:39发表 [回复]
写得不错，赞! 41楼 guoxu1231 2006-04-04 17:44发表 [回复] .......................... 40楼 wised 2006-04-04 17:38发表 [回复]
《线性代数》是最漂亮的数学形式之一，我很喜欢，也觉得很有用，第二有用的就是《概率》和《统计》。
至于能否学明白，只好看各人的资质和听天由命了。
对于数学的学习，一旦学不明白，努力基本上是没有用的。即使在数学家中，也没有例外，如小平邦彦就是学不会解微分方程。
39楼 XVSDF 2006-04-04 17:25发表 [回复]
记得一位没有一点社会背景，但现在很富足的朋友讲过：
没有多少知识并不可怕，这可能是由于家庭的因素、或者社会大环境，
或者年幼时的无知，没有好好学习等等原因所造成的……
没有多少能力并不可怕，能力是经过一段时间的努力之后所积累、所造就的；
这一切统统没有关系，唯一重要的是——您要学会思考!思考致富！快去看看http://haidongqing.9soho.com
38楼 Liu JunSong 2006-04-04 14:11发表 [回复]
数学是一门非常抽象的科学,世界上任何的科学,一旦成为学科,就必然有其专业性,对于不接触这种行业的人来说,无异于天书.要学习数学,就必须先掌握他的特有语言和约定;用一种比喻来试图简化这种困难程度,本质上来说是很难做到的.
我个人任务,与其将精力如此分散,面面俱到地泛泛讨论问题,还不如针对一个专门题目,认认真真进行探讨有真正的效果.
37楼 刘泽围 2006-04-04 10:17发表 [回复]
收藏！谢谢了，朋友
36楼 风雨骑士 2006-04-04 12:47发表 [回复] >>矩阵的本质是运动的描述
在线性空间这个大背景下，这么说是挺“直觉”的，但离开了这个背景，这句话就值得商榷。 35楼 myan 2006-04-04 11:38发表 [回复] 谢谢风雨骑士和 windinn_ 指出笔误！
已经修改。 34楼 windinn_ 2006-04-04 11:25发表 [回复] (AB)-1应该等于B-1A－1
可能打字有误 33楼 风雨骑士 2006-04-04 11:23发表 [回复] >>对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = A-1B-1
反了吧，应该是(AB)-1 = B-1A-1 32楼 cnzhangzhen 2006-04-03 21:11发表 [回复] 王惠芬的，应该 31楼 cnzhangzhen 2006-04-03 21:10发表 [回复] 奇怪了，大家当年高代考试是怎么过的呢
印象中有本张筑生的习题集不错。 30楼 cybercake 2006-04-03 20:20发表 [回复] 我从来没有对别人的Blog发表过评论。今天是第一次。
一如楼上某君的说法，因为“不适应大学的学习方式”，当年我的《线代》一塌糊涂。直到现在都只停留在最初级的矩阵运算上。
无论如何请楼主继续下去，这篇文章的意义不亚于写一本教科书啊！
29楼 nybon 2006-04-03 19:58发表 [回复]
谢谢您的文章
28楼 suso 2006-04-03 18:11发表 [回复]