感谢LZ的大作，确实为思考活动之结晶。中国就缺少这样的“科普”人才啊，大道理大家都“懂”，懂吗？都不懂也，就是缺少“知觉”性的思考，与现实本质的联系思考。LZ的续作可否发到我邮箱：suso@qq.ocm
感激不尽！
27楼 lxz 2006-04-03 15:06发表 [回复]
中国写书的那些学者多些这样的思维就好了 26楼 blue gene 2006-04-03 14:45发表 [回复]
非常赞同你的关于知觉性的论述，我和你有相同的看法。我最近也在看很多的线性代数的书籍，也在思考类似的问题，非常希望你能写下去，不管你的认识是否一定正确，但我觉得我受益匪浅。
25楼 绛夊緟 2006-04-03 09:09发表 [回复]
能把数学概念都抽象成简单的生活常识,这就是悟
24楼 荻荻 2006-04-03 12:40发表 [回复]
令我茅塞顿开！！老师加油！！
23楼 xxx 2006-04-03 13:03发表 [回复]
我一向是比较吝惜我的称赞的，不过这一次想破例一次。
孟岩喜欢思考，说句实在话，孟岩这篇文章的结论我在几个月前就得出了。但令我非常惊讶的是：为什么你的思考结论为什么和我的结论竟然是如此的高度一致，而且连思考的具体过程都是如此的一致，看来人脑的思维的确具有某种惯性和共性。
22楼 chensh 2006-04-03 10:50发表 [回复]
我要那么说会死得更惨:)
21楼 anonymous 2006-04-02 19:23发表 [回复]
看了之后似乎明白了一些，但要说具体明白了什么……还是有些模糊。归根到底还是现代科学发展太慢啊，也许到了遥远的未来，空间跳越成为家常便饭时，这些东西才能有个直观的表现吧-_-
20楼 loss of certainty 2006-04-03 10:47发表 [回复]
建议看看《数学：确定性的丧失》后，再来谈数学。 19楼 myan 2006-04-03 11:52发表 [回复]
to chensh：
反正你就是一个死，不如死的壮烈一点。
to loss of certainty：
这本名著谁敢不买一本啊，不过目前还没时间精读。但是据我粗略浏览，此书主要是向公众解释数学的几次危机，并且最终目的是解释数学公理体系的不完备性，也就是哥德尔定理，这是全书的核心。这本书对于人们加强对数学的state of the art的理解很有意义，但是要说不看这本书，就不能谈数学，我觉得有点过。尽管公理体系是不完备的，也就是说数学是不确定的，但是不妨碍数学在实际应用中取得巨大的成功。我从不敢自认为懂数学，所有的着眼点都在于数学应用方面，因此暂时不会受到数学的不确定性的骚扰。
18楼 alexanderxyh 2006-04-02 22:32发表 [回复]
说的不错，研究生考试刚过，加上线代又是我的兴趣，所以这些概念还是很清楚的
作者把矩阵想象到了描述运动
把能harbor运动这种trait看作是空间的特性
实在是别有洞天
另外，在下还有俗见想补充：
哲学有云：大千世界统一于物质，物质的本质又是运动不息
数学-博大而又精深者也，然则亦归属于物质，必然为运动所刻画
17楼 ******* 2006-04-02 20:22发表 [回复]
老魔头还能写出这样出彩的东西~刮目相看啊~ 16楼 xuewu 2006-04-02 20:15发表 [回复] 大一我很喜欢这种直观的思考，仅靠证明的东西总是感到不实在，每当从直观上认识一个问题才感到数学的乐趣。 15楼 Big Ben. 2006-04-02 16:45发表 [回复]
听孟老师一席话，真是茅塞顿开
14楼 cxj3000 2006-04-02 20:10发表 [回复]
非常期待孟岩老师继续写完！学了这么长时间的线性代数了，但总是感觉不得要领~这些疑惑也是我一直想知道的~~第一部分就写的很好，希望能尽快看到续集~ 13楼 高代不过关 2006-04-02 16:36发表 [回复] 期待大学开始我的高代就挂了这是我一生的痛阿 12楼 ^_^鐪嬮?浜?Url= 2006-04-02 16:20发表 [回复]
to seraph
3D 如果要模拟现实,你可去看分型
11楼 dot99 2006-04-02 13:16发表 [回复]
矩阵对我来说，曾经是，并且目前为止，一直是一个莫名其妙的东西...
10楼 hongqing 2006-04-02 16:03发表 [回复]
写的很棒:
孟岩老师可不可以推荐几本有意义的原版书,或者网站
9楼 lihuibin 2006-04-02 13:02发表 [回复]
好，写得好，矩阵是运动真的是一语惊醒梦中人，看这篇文章太值得了。期待后面更精彩的描述 8楼 onlyxuyang 2006-04-02 15:52发表 [回复] 很好的文章,希望能写完
孟岩老师加油啊!~!!! 7楼 seraph 2006-04-02 15:20发表 [回复]
呵呵，矩阵是运动，我是做3D图形的，在图形学里面，所有的变换都是矩阵乘法，可以算是线性代码的一个直观解释吧
6楼 leexiaofeng 2006-04-02 10:39发表 [回复]
写得很好，我学线性代数或者甚至整门数学课程时就被这类“直觉性”问题困扰。一个公式被证明出来了，我总觉得不可思议，硬是想要从直觉性的去理解他，有一些公式、定理成功了，但是大部分失败了。过多的失败使我放弃了理解数学，这样几年下来数学已经被忘了。
看了这篇文章，醍醐灌顶，要重新学习数学了！楼主坚持下去啊！
5楼 adherent 2006-04-02 13:28发表 [回复]
“直觉性”！非常经典的论述，大一的时候学现代就曾经拼命的想找到那种对一大堆公式的直觉感触，哈哈，说来惭愧，当时的努力最终在一种孤独中败阵。 4楼 softy 2006-04-02 03:47发表 [回复] 我大学线性代数考试满分,感觉不错
可后来竟然有其他数学科目挂了 3楼 dd 2006-04-02 11:30发表 [回复]
2. 这些点之间存在相对的关系
4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动
4 应该是 2 的特殊情况吧。
2楼 bloodwolf 2006-04-02 09:54发表 [回复]
只学过基本的线性代数，考的很不好。对于许多科目都是，我觉得有用的，才有耐心学下去，否则的话只要求考试过了就可以了。正如大大所说的，一开始就把我带到云里雾里，全是枯燥乏味的公式，它不认识我，我也不认识，也不认为它有什么用处。我觉得兴趣是学习的最好动力，而现在的很多书只是说教。
1楼 BunnyQ 2006-04-02 09:30发表 [回复]
我大一时的线形代数挂了起早贪黑上自习看了半个月考了55分
没挂的人告诉我你把例题和习题都做熟悉了定理背过了就很容易拿高分了.
没有人告诉我文中那许多为什么只告诉我这么做就是对的后来被我归结为没有适应大学的学习方法.. = =b
理解矩阵（二）
2006-04-03 14:01 39779人阅读 评论(154) 收藏 举报
接着理解矩阵。
上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是
一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成： “矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成： “矩阵是线性空间里的变换的描述。”