到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有： T(ax + by) = aT(x) + bT(y)， 那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。 接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。” 理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一
个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是： 若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系： A = P-1BP
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩
阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。 这个留在下一篇再写吧。
因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。
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151楼 z550946941 2012-07-05 16:24发表 [回复]
读过此文章之后的感觉是，矩阵作为线性空间里变换的描述，让我感觉所谓空间就像一个浑身是刺的大刺猬(可能这个比喻不太恰当)，但是当你从不同的角度去看的时候又会发现它是何等的光滑圆润，小弟不懂那么高深的数学，上面写的只不过是度过该文之后的一些想法，勿喷小弟
150楼 z550946941 2012-07-05 16:03发表 [回复]
[plain] view plaincopy 1. 矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，
不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
在博主文章的这段描述里，那我是不是可以理解为在同一个线性空间中选定一个基a，点A跃迁另一个地方的时候，会对应当前线性空间中的另外一个基b，那是不是可以认为点A只有一个，基a与基b只是某个基在围绕点A运动(或者说某个坐标系在围绕点A运动)呢？
149楼 youqika 2012-04-12 01:18发表 [回复]
那些喷的不是在炫耀自己多牛叉就是在装13。
148楼 htiaotiao 2012-01-07 10:51发表 [回复]
写得真不错，感觉颠覆了以以往的认识，不过还是有些小小的问题。
首先，我记得书本上一个空间到另一个空间的“跃迁”好像有另一个名字叫“映射”，而“变换”只是“映射”中特殊的一种。
还有对于你提出的“跃迁”这种想法真的很好不过我觉得像线性变换之所以那样定义为线性变换是因为满足T(ax + by) = aT(x) + bT(y)这个关系式同时也就满足了线性关系。
147楼 huxiongge 2011-10-24 13:01发表 [回复]
我觉得深入浅出 希望大牛能再写几篇
最好是概率统计方面的东东，哈哈
146楼 cqsjnhustccrdi 2011-08-24 12:53发表 [回复]
真是太浅显易懂了，楼主真的很有才，我一直在找这么一篇文章，把抽象和现实联系在一起，现在的教程都通篇一律的推导，看得我头都大了，还不知道是个什么意思，有什么实际意义，感觉就想天数，搞数学的人是不是都喜欢跟实际脱节以显得自己高深？还好有楼主的这篇文章，这才叫高人，真正懂矩阵的人。
145楼 googya 2010-10-03 18:05发表 [回复]
当时学线代的时候，就有过这样的疑惑：矩阵是什么，意义是什么，有什么实际的用途(如何在恰当的地方引入）。我想只有把这些东西弄得有些眉目了，学起来才会更容易，用起来才会更自如，随着使用，不断的加深理解。教材上说的基本上都是正确的，但是如果教材写的再好，学习者仍然一知半解，那么这样正确的东西对学习者而言没有任何意义，相反会使学习者的学习兴趣下降甚至怀疑自己的智商！多么可笑的一件事情！教就教好，搞的别人一知半解还不如不教！
144楼 匿名用户 2010-06-15 18:51发表 [回复]
还没开始学线代，却有缘先看了这个贴子，感谢感谢！143楼 匿名用户 2010-06-13 21:21发表 [回复] 142楼 xiehongan123 2010-03-30 21:01发表 [回复] 141楼 yanonsoftware 2007-11-06 12:28发表 [回复]
看到这里已经受益匪浅了~! 终于把图形学的知识和线性代数里面的知识融会贯通了! 好久没有这种感觉了!
140楼 JJWorm 2007-11-06 10:52发表 [回复]
一直也喜欢在数学的公式中去找答案,去发现直观意义. 在贴子中,发现了原还有许多同样的朋友. 但更重要的收获,是在回复中一些朋友启发到. 直觉可能不是数学的全部. 直觉不是数学的终点, 确定性不是数学的本原.那么数学你到底是要做什么的啊........... 要崩溃了. 我从小一直以为世界本质是美好的, 一切最终是追寻着真善美的目标. 但现实一再告诉我们, 假设有上帝, 那么它不一定会是真善美的代言人. 一切的一切都指向的是\存在\为了存在没有任何标尺. 数学也是世界的一部分, 那么它也不会有责任去真善美. 再美好的直观解释让我能激动一时,更多的是失落.
139楼 JJWorm 2007-11-06 10:34发表 [回复]
你说的直观是不是现实空间中的后天经验，那么这涉及到一个问题数学到底是现实的抽象，还是柏拉图的世界，也就是遗世独立，现实只是它的一个粗糙的影射。这涉及到哲学上的问题，想不明白，也没有答案。但如果这个问题不解决，那么你的直观是否是先验的判断，是不能得出结论的啊。直观不一定是生活中的直观，它可能本身就是人心对真理的直觉。
aha100 发表于2006-04-08 13:15:00 IP: 10.11.153.*
我觉得如果把运动分为运动结果和运动过程比较好.作者最好不要用运动一词,因为运动包含了开始,过程和结果.当然你开始时候就说了\运动的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化\但看的时候有点别扭. 改成运动方式好点.