高中数学解题小技巧
一、代入法
若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式x0?f(x)，y0?g(x)，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：y?x2与直线l：
x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB，记曲线
C在
点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； 【巧解】联立y?x2与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(15,)， 2215?s?t22设线段PQ 的中点M坐标为(x,y)，则x?， ,y?2215即s?2x?,t?2y?，又点P在曲线C上，
225111∴2y??(2x?)2化简可得y?x2?x?，又点P是L上的任一
228点，
115?2，即??x?， 2441115∴中点M的轨迹方程为y?x2?x?（??x?）.
844且不与点A和点B重合，则?1?2x?【例2】（2008年，江西卷）设P(x0,y0) 在直线x?m(y??m,0?m?1)上，过点P作双曲线x2?y2?1的两条切线PA、PB，切点为A、B，
1定点M(m 过点A作直线x?y?0的垂线，垂足为N，试求?AMN,0)。
1
的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知得到y1y2?0，且x12?y12?1，
22（1）垂线AN的方程为：y?y1??x?x1， x2?y2?1，
?y?y1??x?x1x?yx?y由?得垂足N(11,11)，设重心G(x,y)
22?x?y?03?9x?3y??11x1?y1?mx?(x??)x??11??3m24所以? 解得??1??y?1(y?0?x1?y1)9y?3x?1??y?m32?1??4由x12?y12?1 可得(3x?3y?1)(3x?3y?1)?2
mm即(x?1)2?y2?2为重心G所在曲线方程
3m9
巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线C:y?x2的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.
巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,?3)和F2(0,3)为焦点、离心率为
3的椭圆，设椭圆在第一
2象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB，求点M的轨迹方程
2
二、直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。
【例1（】2009年高考全国II
x2y2卷）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)ab的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点。若
AF?4FB，则
C的离心率为（ ）
（B）
75 （A）
65（C）
F(c,0)85（D） ，由AF?4FB，得
y3?c，
95【巧解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，(c?x1,?y1)?4(x2?c,y2)
∴y1??4y2，设过F点斜率为3的直线方程为x?y?x??cb22b2c?22由?消去x得：(?a)y?y?b4?0， 332222223??bx?ay?ab?0??6b2c6b2cy?y2???3y2????2222?1?3(b?3a)3(b?3a)∴? ， 将 代入得y??4y?123b43b42??y1y2?2?4y2?22??b?3ab?3a2??化简得
?2b2c?y2??3(b2?3a2) ?43b2?y??2?4(b2?3a2)?
4b4c23b4，∴2， ??3(b?3a2)24(b2?3a2) 3
化简得：16c2?9(3a2?b2)?9(3a2?c2?a2)，∴25c2即e?。
65?36a2，e2?3625，
故本题选（A） 【例2】（2008年，四川卷）设定义在R上的函数f(x)?f(x?2)?13，若
f(1)?2，则f(99)?（ ）
（A）13
（B）2
（C）
13 2f(x)满足
（D）
2 13【巧解】∵f(x?2)?131313??f(x) ，∴f(x?4)?13f(x?2)f(x)f(x)T?4∴函数
f(x)为周期函数，且
1313? f(1)2，∴
f(99)?f(4?24?3)?f(3)?故选（C）
巧练一：（2008年，湖北卷）若f(x)??减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[?1,??)
B．(?1,??)
C．(??,?1]
D．(??,?1)
12x?bln(x?2)在(?1,??)上是2巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）
A．22?
B．2?
C．
2?2 D．
2?4
三、定义法
4
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线径、准线、离心定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线y2?2px(p?0)的焦
点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则p? ．
p【巧解】依题意直线AB的方程为y?x?2p??y?x?，由? 2消去y得：2??y?2pxp2x?3px??0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1?x2?3p，根据抛物线
42的定义。
|BF|?x2?pp，|AF|?x1?，∴|AB|?x1?x2?p?4p?8，∴p?2， 22故本题应填2。
【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为
5，焦13点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
x2y2（A）2?2?1
43x2y2（C）2?2?1
34
x2y2（B）2?2?1
135x2y2（D）2?2?1
1312【巧解】由题意椭圆的半焦距为c?5，双曲线C2上的点P满足
||PF1|?|PF2||?8?|F1F2|,
∴点P的轨迹是双曲线，其中c?5，a?4，
5