化成“积”。
（3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。
概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。
【例1】已知数列?an?中，a1?1，且点P(an,an?1)(n?N*)在直线
x?y?1?0上
（1）求?an?的通项公式； （2）若函数f(n)?的最小值.
【巧解】（1）?点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1且a1?1 ?数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列 ?an?1?(n?1)?1?n
?an?n
111求函数f(n)??...?(n?N,n?2)，
n?a1n?a2n?an
（2）?f(n)?
111????， n?1n?22n11111f(n?1)???????
n?2n?32n2n?12n?2111111?f(n?1)?f(n)???????0
2n?12n?2n?12n?22n?2n?17?f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?
12【例2】（Ⅰ）已知函数f(x)??3x2?6x?2.Sn是数列{an}的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*），在曲线y?
26
f(x)?2上，求
an.
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若bna?b1?()n?1,cn?nn26，且Tn是数列{cn}
的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值，若不存在，请说明理由. 【巧解】（Ⅰ）点（n，Sn）在曲线y?f(x)?2上，所以sn??3n2?6n.
当n=1时，a1= S1=3，当n≥2时，an= Sn- Sn-1=9-6n，
?an?9?6n.
（Ⅱ）?b1n?1,c19?6n1n?11n?()n?anbn?()?(3?2n)()n26622,
?Tc?c1121n?1?c1??n??(2)???(3?2n)(2)n2.
利用错位相减法，?T?(2n?1)(1n2)n?1.
?Tn?1)(12)n?0,Tn?3)(1n?1?(2n?1?1?(22)n?1?0,
1?T?1(2n?1)(n2)nT??1, n?1?1(2n?3)(1)n?12?Tn?1?1?Tn?1,?TT1
n?1?n???T1?2.存在最大值T11?2.
巧练一：（2005年，全国卷）若a?ln22,b?ln33,c?ln55，则 （ ） A．a 巧练二：已知函数f(x)?a?2x?b的图象过点A(1,32),B(2,52). （Ⅰ）求函数y?f(x)的反函数y?f?1(x)的解析式； （Ⅱ）记a1(n)n?2f?(n?N*)，是否存在正数 k， 27 c 使得(1?111)(1?)?(1?)?k2n?1对n?N*均成立.若存在，求a1a2an出k的最 大值；若不存在，请说明理由. 十六、基本不等式法 借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。常用的基本不等式有下面几种形式：①若a、 b?R，则a2?b2?2ab，（当且仅当a?b时取等号），反之 也成立，②若a?0、b?0，则a?b?2ab，（当且 a?b2)也成立。③若a、b、c2a2?b2ab?2仅当a?b时取等号），反之ab?(都是正数，则a3?b3?c3?3abc，（当且仅当a?b?c时取等号）， a3?b3?c3反之abc?2也成立。④若a、b、c都是正数，则 a?b?ca?b?c?33abcabc?(a?b?c3)2，（当且仅当时取等号），反之 a2?b2?2ab也成立。对于公式及公式 a?b?2ab的理解，应注意以下几点： ①两个公式成立的条件是不同的，前者只要求a、b是实数，而后者强调a、b必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当a?b时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。 解题功能及技巧是：①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式的使用条件时，合理拆分项或配凑因式 28 是常用的解题技巧。③“和定积最大，积定和最小”，即n个 (n?2,3)正数的和为定值，则可求积的最大值，积为定值，则 可求和的最小值。应用此结论求某些函数最值要注意三个条件：就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取到”，求最值时，若忽略了上述三个条件，就会出现错误，导致解题失败。必要时要做适当的变形或换元，以满足上述条件。 【例1】（2008年，重庆卷）函数f（x）=的值域是（ ） 11,] 4411（C）[－,] 22sinx5?4cosx（0≤x≤2?） （A）[－ sinx11,] 3322（D）[－,] 33（B）[－ 【巧解】∵f(x)?5?4cosx，∴ sin2x?cos2x?1f(x)?? 5?4cosx5?4cosx2令t?5?4cosx，∵0?x?2?，?1?cosx?1，∴t?0 ∴cosx???t?5，∴?cosx?1?45?4cosx2?(5?t2)?1194??(t??10) t16t9191(2t??10)?，当且仅当t?，即t?3时取等号，此 t16t4时cosx??，即x?故 2?4?或3311f(x)的值域为[－,] 2212，∴f2(x)?，因而?1411?f(x)?，22【例2】（2008 2sin2x?1年，辽宁卷）设x?(0,),则函数y?的最小 2sin2x?值为 . 【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得： 29 2sin2x?12sin2x?13sin2x?cos2x3tan2x?1y????sin2x2sinxcosx2sinxcosx2tanx = 31tanx?， 22tanx∵x?(0,且仅当 tan2x??2),∴tanx?0，利用均值定理，y?231tanx??3，当22tanx1时取“=”，∴ymin?3，所以应填3. 3x2?x?1(x?0)的最小值是 巧练一：函数y?2x?2x?1 。 巧练二：求函数y?x2(1?5x)(0?x?1)的最大值。 5十七、综合法 利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 【例1】已知a,b是正数，且 x?y?(a?b)2 ab??1xy， x,y?(0,??)，求证： 【巧证】左?x?y?(x?y)?(abbxay?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)2 xyyxaybxx2a当且仅当?，即2?时，取“＝”号，故x?y?(a?b)2。 ?右， xyyb111???9 abc111a?b?ca?b?ca?b?cbacacb???3?(?)?(?)?(?) 【巧证】???abcabcabacbc1?3?2?2?2?9，当且仅当a?b?c?时取“＝”号。 31巧练一：已知函数f(x)?x2?lnx．设g(x)?f?(x)， 2【例2】已知a,b,c是正数，且a?b?c?1，求证： 求证：[g(x)]n?g(xn)?2n?2(n?N*)． 30