巧练二：已知a,b,c,d都是实数，且a2?b2?1，c2?d2?1，求证：
|ac?bd|?1
十八、分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。
注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求不等式成立的充分条件，可以简单写成
B?B1?B2??Bn?A，②分析法与综合法是对立统一的两
种方法。综合法是“由因导果”；③分析法论证“若A则B”这个命题的证明模式（步骤）是：
欲证明命题B成立，只须证明命题B1成立，?，从而有?，只须证明命题B2成立，从而又有?，只须证明命题A成立，而已知A成立，故B必成立。④用分析法证明问题时，一定要恰当用好“要证”，“只须证”，“即证”，“也即证”等词语。 【例1】求证3?7?2?6
【巧证】∵3?7?0，2?6?0，要证3?7?2?6， 只须证(3?7)2?(2?6)2，即证10?221?10?224
也即证21?24，∵21?24，21?24显然成立，∴原不等式
3?7?2?6成立。
【例2】设a?0，b?0，且2c?a?b，证明c?c2?ab?a?c?c2?ab
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【巧证】要证c?c2?ab?a?c?c2?ab
只须证?c2?ab?a?c?c2?ab，即证|a?c|?c2?ab
两边平方得：a2?2ac?c2?c2?ab，也即证a2?ab?2ac，∵a?0且
2c?a?b
∴a2?ab?2ac显然成立，∴原不等式成立。 巧练一：求证3?7?25
巧练二：已知a?0，b?0，a?b?1，试证明：(a?十九、放缩法
欲证A?B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B?B1，B1?B2，。。。Bi?A或A?A1，A1?A2，。。。Ai?B，在利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩否则是达不到目的，此方法在数列与函数、不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。
放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：a2?1?|a|；
n(n?1)?n
1125)(b?)?ab4
（2）将分子或分母放大（或缩小） （3）利用基本不等式，如：（4）利用常用结论：①②③
1111???k2k(k?1)k?1kn(n?1)?n?(n?1) 2k?1?k?1k?1?k?12k；
；
1111???（程度大） 2k(k?1)kk?1k144411????2(?)（程度小） 222(2k?1)(2k?1)2k?12k?1k4k4k?1 32
2k2k2k?111④k2?k ???kkk?1k?1k(2?1)(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12?1【例1】已知数列{an}中,a1?2,anan?1?an?1?2an(n?N*). （1）求{an}的通项公式； （2）设bn?an(an?1)(n?N*),Sn是数列{bn}的前n项和,证明:3?Sn?3. 4【巧解】由a12nan?1?an?1?2an,得1?a? nan?1即
1a?1?12(1a?1). ?1?1??1?(1)n?1??12nn,?an?n. n?1nan2222?1（2）当n=1时，S1?a1(a1?1)?2,
?34?S?3,?n?2时,b2n2n2n1n?an(an?1)?2n?1(2n?1?1)?(2n?1)2
2n2n?1?11(2n?1)(2n?2)?(2n?1)(2n?1?1)?2n?1?1?2n?1, ?Sn?2?(12?1?1111122?1)?(22?1?23?1)???(2n?1?1?2n?1) ?3?12n?1?3. 又?n?N*时,b2n(2n?1)?1n?(2n?1)2?(2n?1)2?12n?1?1(2n?1)2
12[(1?(1)n]1[1?(1)n?12(12]2n)2?Sn??44n?1?11
21?4?1?(12)n?13[1?(14)n]
?43?(12)n?13?(14)n?43?12?13?14?34. ?当n?N*时,都有34?Sn?3.
例
2】已知数列?an?的各项均为正数Sn为其前n项和,对于任意n?N*,满足关系
33
【，
Sn?2an?2
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设数列?bn?的前n项和为Tn，且bn任意正整数n，总有Tn?2;
【巧解】（Ⅰ）解：?Sn?2an?2(n?N*), ①
?Sn?1?2an?1?2(n?2,n?N*)
?1(log2an)2，求证：对
②
①—②，得an?2an?2an?1. (n?2,n?N*)
?an?0,?an?2. an?1 (n?2,n?N*)
即数列?an?是等比数列. ?a1?S1,
?a1?2a1?2,即a1?2.?an?2n.(n?N*)
?11?.
(log2an)2n2 （Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn?Tn?
111111?????1????? 2221?22?3(n?1)n12n111111???????2??2. 223n?1nn巧练一：已知数列{an}的通项为an，前n项和为Sn，且an是Sn与
?1?1?2
的等差中项；数
列{bn}中，b1?1,点P（bn，bn?1）在直线x?y?2?0上， （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn； （Ⅱ）设{bn}的前n项和为Bn，试比较
111????B1B2Bn与2的大小；
巧练二：已知数列{an}和{bn},{an}的前n项和为Sn,a2?0，且对任意
n?N?，都有2Sn?n(an?1),点列Pn(an,bn)都在直线y?2x?2上.
（1）求数列{an}的通项公式；
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（2）求证：12|P1P2|?12|P1P3|???12|P1Pn|?2(n?2,n?N?) 5二十、反证法
从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是：要证明M?N，先假设M?N，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M?N，适用范围：①否定性命题；②唯一性命题；③含有“至多”、“至少”问题。④根据问题条件和结论，情况复杂难于入手，可考虑试用反证法。 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：否定结论?推导出矛盾?肯定结论成立，应用反证法证明的主要三步是：第一步，反设——作出与求证结论相反的假设；第二步——归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步——肯定结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
【例1】若0?a?2,0?b?2,0?c?2,证明 不能同时大于1 【巧证】假设
(2?b)?c?1 2(2?a)b，(2?b)c，(2?c)a?(2?a)b?1(2?a)?b??(2?a)b?1?(2?b)c?1，那么2?(2?c)a?1?；同理
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