(2?c)?a?1，上述三式相加得3?3，矛盾，故假设不成立，原2命题成立
【例2】求证：y?sin|x|不是周期函数
【巧证】假设函数y?sin|x|是周期函数，T是它的一个周期
(T?0)，即对任意x?R都有sin|x?T|?sin|x|成立，令x?0，得
sin|T|?sin|0|,即sin|T|?0，∴T?n?(n?N?)，分两种情况讨论：
（1）若n?2k(k?N?)，则sin|x?2k?|?sin|x|对任意x?R都成立，取x??3?2，
3?3?3?3??2k?|?sin|?|?sin??1，即sin(2k??)??1， 22223?3?3?而sin(2k??)?sin(?)??sin?1，∴T?2k?(n?N?)不是该函数
222有sin|?的周期。
（2）若n?2k?1(k?N?)，则有sin|x?(2k?1)?|?sin|x|对任意x?R都成立，
取x?，有有sin|2??2223?3?而sin(2k??)?sin()??1，∴T?(2k?1)?(n?N?)不是该函数的周
22?(2k?1)?|?sin|?|?sin??1，即sin(2k??3?)?1， 2期。
由（1）和（2）说明T?n?(n?N?)不是该函数的周期。故假设不成立，从而命题得证。
巧练一：设f(x)?x2?ax?b，求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|之中至少有一个不小于
巧练二：若下列方程：x2?4ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，
x2?2ax?2a?0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
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二十一、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：（1）局部换元，局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式
4x?22?2?0，先变形为设
t?2x(t?0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的
问题。（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y?x?1?x的值域时，易发现x?[0,1]设x?sin2?，
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???[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到
2如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如：已知x2?y2?a2 ，可设x?acos?，y?asin?已知x2?y2?1 ，可设x?rcos?，y?rsin?(0???2?)
(0???2?,0?r?1)
x2y2已知2?2?1，可设x?acos?，y?bsin?(0???2?)
abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?ab，y?btan?
SS?t y??t等22（3）均值换元，如遇到x?y?S形式时，设x?等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 【例1】（2008年，江西卷）若函数y?F(x)?f(x)?1 f(x)1f(x)的值域是[,3]，则函数
2的值域是（ ）
10] 3 A．[1,3] 2B．[2,C．[510,] 23D．
[3,10] 3t?[【巧解】令f(x)?t，
111,3]，问题转化为求函数y?t?在t?[,3]的2t211值域，于是由函数y?t?在[,1]上为减函数，在[1,3]上为增
t210函数，得y?[2,]，故本题选B
3【例2】（2008年，重庆卷）函数f(x)?的值域是（）
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sinx?13?2cosx?2sinx(0???2?)
（A）[－
2,0] 2
sinx?1?22（B）[－1,0] （D）[－3,0]
sinx?1sinx?cosx?2cosx?2sinx?2（C）[－2,0]
3?2cosx?2sinx【巧解】f(x)? ?原式??1?(1
sinx?1(sinx?1)?(cosx?1)22，当sinx?1时，
cosx?12)sinx?1，令t?cosx?1，即tsinx?cosx?t?1， sinx?1∴t2?1sin(x??)?t?1，即sni(x??)?又0???2?，∴|sin(???)|?1，即|?1??11?t2t?1t2?1t?1，其中tan??||，0???
21t?t?12|?1，解之得t?0，∴
?0，当sinx?1时，f(x)?0，综上知f(x)的值域为
[?1,0]，故本题选B
（ ）
巧练一：函数f(x)?4x?2x?1?2的值域是 A．[1,??)
B．(2,??)
C．(3,??)
D．[4,??)
巧练二：(2005年，福建卷)设a,b?R,a2?2b2?6,则a?b的最小值是（ ）
A．?22
B．?533 C．－3 D．?
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