又∵F(2,0)在直线x0x?3y0y?3上，∴x02?3y0?0?3，即x0?交点P的轨迹方程
322为
【例2】过抛物线C：y?x2上两点M，N的直线l交y轴于点P（0，
b）.
（Ⅰ）若∠MON是钝角（O为坐标原点），求实数b的取值
范围；
（Ⅱ）若b=2，曲线C在点M，N处的切线的交点为Q.证明：
点Q必在一条定直线上
运动.
【巧解】（Ⅰ）设点
M，N
坐标分别为
方程为
22(x1,x12),(x2,x2)(x1?x2),则OM?(x1,x12),ON?(x2,x2).由题意可设直线l???k2?4b?0y?x?y=kx+b,由? 消去y得x2?kx?b?0,??x1?x2?k??y?kx?b?x?x??b?122
??MON是钝角,?cos?MON?OM?ON|OM|?|ON|?0,且cos?MON??1.
2由OM?ON?x1x2?x12x2??b?b2?0,得0?b?1.此时O,M,N三点不共势,cos?MON??1不成立.?b的取值范围是(0,1).??6分x1?x2?k,（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知???x1?x2??b??2,
∵函数y=x2的导数y′=2x，
2抛物线在M(x1,x12),N(x2,x2)两点处切线的斜率分别为
kM?2x1,kN?2x2,∴在点
M，N处的切线方程分别为
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lM:y?x12?2x1(x?x1),2lN:y?x2?2x2(x?x2).2??y?x1?2x1(x?x1),由?(x1?x2),解得交点Q的坐标(x,y)满足2?y?x?2x(x?x)222?x1?x2?k?,?x?,?x?2即?2???y??2,?y?x1?x2,?
?Q点在定直线y??2上运动.巧练一：已知定点A（1，0）和定直线x??1上的两个动点E、F，满足AE?AF，动点P满足EP//OA,FO//OP（其中O为坐标原点）. （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点M(1,0)与轨迹C交于A、B两点,分别过
A、B作轨迹C的两条切线，A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。
巧练二：如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°. 曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 分别过E、F.作轨迹C的两条切线，E、F.为切点，
求两条切线的交点Q的轨迹方程。
十三、几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。
【例1】(2008年，浙江卷)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则|c| 的最大值是（ ）
22
（A）1 （B）2 （C）2 （D）
22
【巧解】不妨设以a、b所在直线为x轴，y轴，且a?(1,y 0)，b?(0,1)，
c?(x,y)由已知(a?c)?(b?c)?0得a?b?(a?b)?c?|c|2?0， C |c| x 整理得x2?y2?x?y?0 即(x?22O 121111)?(y?)2?，所以向量c的坐标是以(,)为圆心， 22222为半径的一个圆且过原点，故|c|的最大值即为圆的直径为
2，故本题选（C）
【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=2BC,则S?ABC的最大值 .
【巧解】建立如图平面直角坐标系，设C(x,y)，A(0,0)，B(2,0)，由AC?2BC 即|AC|?2|BC|，∴
x2?y2?2(x?2)2?y2，
y C(x,y) D(4,0) x 化简得x2?8x?y2?8?0
配方得(x?4)?y?8，所以C点轨迹是以D(4,0)为圆心， 22A B(2,0) ，所以当C点纵坐22为半径的一个圆（除去与x轴的两个交点）标绝对值为22，即|y|?22时，S?ABC有最大值为以答案为22 巧练一：已知A(m?为 .
巧练二：已知实数x、y满足的最大值等于 .
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2?22?22，所211,m?)，B(1,0)，其中m?0，则|AB|的最小值mm(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?6，则2x?y
十四、弦中点轨迹法
有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。
【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C的顶点在坐标
原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为 .
【巧解】由F(1,0)知抛物线C的方程为y2?4x，设A(x1,y1)，
2B(x2,y2)，代入抛物线方程则有：y12?4x1，y2?4x2，两式相减有2y12?y2?4(x1?x2)，
即
y1?y2(y1?y2)?4?k(y1?y2)?4，又x1?x2y1?y2?，∴4k?4，即
k?1。
故lAB：y?2?x?2，即y?x，∴本题应填y?x
【例2】椭圆ax2?by2?1与直线y?1?x交于A、B两点，若过原点与线段（ ） （A）
3 4AB中点的直线的倾斜角为300，则
ab的值为
（B）
AB3 3（C）
3 2（D）3
【巧解】设
x1?x2?2x0
的中点为M(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
?ax12?by12?1，两式相减，得 y1?y2?2y0，又?22?ax2?by2?1
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a(x1?x2)(x1?x2)?b(y1?y2)(y1?y2)?0，
即2ax0(x1?x2)?2by0(y1?y2)?0，∴∴
axy1?y2??0??1 x1?x2by0ax0ya33，∴?，故选（B） ?1，又0?tan300?b3by0x03巧练一：若椭圆mx2?ny2?1与直线x?y?1?0交于A、B两点，过原点与线段为 .
x2y2巧练二：若椭圆??1的弦被点P(4,2)平分，则此弦所在直
369AB中点的直线的斜率为
22，则
nm的值
线的斜率是为 .
十五、比较法
现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a和b，若a?b?0，a?b?0，a?b?0，则它们分别表示a?b，a?b，a?b，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据
aaa?1，?1或?1来判断a?b，bbba?b，a?b，这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函
数、不等式交汇问题中应用广泛。
比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论 （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”
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