静电学一章习题答案
习题7—1 半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为：［ ］
E E E E
E∝1/r
(A) 2(B) E∝1/r E∝1/r2 E∝1/r2 (D) E∝1/r2 (C)
O R O R r O R r O R r r
习题7―1图
习题7—2 半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U随离球心的距离r变化的分布曲线为：［ ］
U U U
(A) U∝1/r (B) U∝1/r (C) U∝1/r
a O A R r O R r O R r d q
U U bU∝1/r2 (E) U∝1/r2
(D) c O R O R r r
习题7―3图
习题7―2图
习题7─3 如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：［ ］
解：可以设想再补上与图示立方体完全相同的七个立方体，使得点电荷位于一个边长扩大一倍的新的立方体的中心，这样，根据高斯定理，通过这个新立方体的六个面的总电通量为q?0，通过其中任何一个面的电通量为q(6?0)，而因原abcd面只是新立方体一个面的四分之一，故通过abcd面的电场强度通量为q(24?0)。［选择答案(C)］
习题7─4 如图所示，两个同心的均匀带电球Q2 面，内球面半径为R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量为Q2。设无穷远处为电势零点，则在内球面里面，距球心为r的P点处的电势为：［ ］ (A)
Q1?Q2Q1Q2? 。 (B) 。
4??0r4??0R14??0R2习题7―4图
Q1 R2 r P O R 1 (C) 0。 (D)
Q14??0R1。
解：根据场强叠加原理，内球面单独在P点产生的电势为
UP1?外球面单独在P点产生的电势为
UP2?Q24??0R2Q14??0R1
因此，P点最终的电势为
UP?UP1?UP2?Q14??0R1?Q24??0R2
［所以选择答案(B)］［注：对典型电荷分布的场，应用叠加原理可以非常方便地求得结果。］ Z 习题7—5 有N个电量均为q的点电荷，以
P 两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无
规则的分布，另一种是均匀分布，比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的Z轴上任一点P的场强与电势，则有：［ ］
O (A) 场强相等，电势相等。 Y
(B) 场强不等，电势不等。
X (C) 场强分量EZ相等，电势相等。
习题7―5图 (D) 场强分量EZ相等，电势不等。
解：因为电势是标量，而且仅与点电荷到场点的距离有关，所以各点电荷在P点产生的电势都相等，与点电荷在圆周上的位置无关，这样一来，根据电势叠加原理，两种情况下的电势都一样，都是
UP??i?1Nq4??0r?Nq4??0r
对于场强，因为它是矢量，即不仅有大小还有方向，各点电荷产生的场强方向与其在圆周上的位置有关，也就是说，P点的场强应当与各点电荷在圆周上的分布有关，所以两种情况下的场强是不同的。但是，由于P点对于圆周上的各点是对称的，各点电荷场强的Z分量(标量)大小与其在圆周上的位置无关，因此，两种情况下P点的场强分量EZ 都相同。综上，应该选择答案(C)。
习题7—6 如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q，若将另一点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：［ ］
(A)
23qQ43qQ63qQ83qQ (B) (C) (D)
4??0a4??0a4??0a4??0aq
解：根据电势叠加原理，三角形的中心O
处的电势为
UO?q?2q?3q63q ??4??a4??0(23)asin600因为无穷远处电势为零，所以外力的功为 A外??A电??Q(U??UO)?QUO?a a O 63qQ 4??0a2q a 习题7―6图
3q
因此，应当选择答案(C)。
习题7—7 如图所示，在坐标(a，0)处放置一点电荷+q，在坐标(－a，0)处放置另一点电荷－q。P点是Y轴的一点，坐标为(0，y)，当y>>a时，该点场强的大小为：［ ］ (A)
q4??0yqa2??0y32Y P (0 ，y) –q
q
a (B)
q2??0yq2
–a O
X
习题7―7图
(C) (D)
4??0y3
解：由图示，两个点电荷在P点产生的场强的Y分量相抵消，P点最终的场强只是两场强X分量的叠加，因此，P点的场强为 EP?2?qaqaqa ???2222323224??0(y?a)y?a2??0(y?a)2??0y所以应该选择答案(C)。
习题7—8 设有一“无限大”均匀带正电E E
(A) (B) E∝x 荷的平面，取X轴垂直带电平面，坐标原
点在带电平面上，则其周围空间各点的电O X X O ?场强度E随距离平面的位置坐标x的变化
E E
的关系曲线为(规定场强方向沿X轴正方向(C) (D) E?1 x为正，反之为负)：［ ］
O X O X
解：“无限大”均匀带正电荷的平面产 生的场强大小是与到平面的距离x无关的常
习题7―8图
量，但是平面两侧的场强方向不同：在x>0
区间，场强方向与X轴正向相同，应为正；反之在x<0区间，场强方向与X轴正向相反，应为负。所以，应该选择答案(C)。
习题7—9 图中所示曲线表示某种球
E 对称静电场的场强大小E随径向距离r
变化的关系，请指出该电场是由下列哪
E∝1/r2 一种带电体产生的。［ ］
(A) 半径为R的均匀带电球面。 (B) 半径为R的均匀带电球体。
O R (C) 点电荷。 r
(D) 外半径为R，内半径为R/2的均匀习题7―9图 带电球壳体。
解：容易看出该电场是由半径为R的均匀带电球面产生的，所以，应该选 择答案(A)。
习题7—10 真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处有一带电量为q的Q 点电荷，如图所示。设无穷远处为电势零
P 点，则在球内离球心O为r的P 处的电r 势为：［ ］ (A)
q4??0r
(B)
1?qQ???? 4??0?rR??qQ?q???? rR??O q R (C)
1q?Q
(D)
4??04??0r
习题7―10图
解：根据电势叠加原理，P点的电势应为均匀带电球面和球心处的点电荷各
自单独存在时所产生电势的叠加，即
UP?q4??0r?Q4??0R?1?qQ???? 4??0?rR?所以，应该选择答案(B)。
习题7─11 把一个带电量为+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1 解：在吹胀过程中，高斯球面上任一点先在球形肥皂泡外，后在肥皂泡内，而带电的球形肥皂泡可看作均匀带电球面，因此，高斯球面上任一点的场强大小由 E?Q4??0R2 变到 E = 0； 该点的电势由 U?Q4??0R 变到 U?Q4??0r2 ［注：从本题求解可以看出，我们应该对均匀带电球面的场强和电势公式非常熟悉才行］ 习题7—12 点电荷q1、q2、q3和q4在真空S q4 中的分布如图所示，图中S为闭合曲面， ??则通过该闭合曲面的电通量?E?dS?＝ ，式中E是点电荷 q2 q1 习题7―12图 q3 在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。 解：根据静电场高斯定理，通过该闭合 曲面的电通量等于被闭合曲面包围的电荷之代数和的?0分之一，即 ??11 ?E?dS=?qi?(q1?q2) ?0i?0?高斯定理中的E是高斯面上任一点的场强，它是由高斯面内、外的所有电荷共同产生的，即由q1、q2、q3和q4共同产生的。 习题7—13 在点电荷+q和－q的静电 ﹢q ﹣q 场中，作出如图所示的三个闭合面S1、 S2、S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别为Φ1= ；Φ2= S1 S2 S3 ；Φ3= 。 习题7―13图 解：根据高斯定理容易知道，通过 三个闭合曲面的电通量分别为q?0、0、?q?0。 习题7─14 如图，A点与B点间距离 C 为2l，OCD是以B为中心、以l为半径 l 的半圆路径，A、B两处各放有一点电荷 A B 带，电量分别为+q和-q，则把另一带电﹢q O ﹣q D 量为Q(Q<0)的点电荷从D点沿路径2l DCO移到O点的过程中，电场力所作的 习题7―14图 功为 。 解：放在A、B两处的点电荷+q和-q是场源电荷，设无穷远处为电势零点，则D点的电势为