UD?U??U??q4??0(3l)??qq?? 4??0l6??0l同理，O点的的电势为
UO?0
因此，把另一带电量为Q(Q<0)的点电荷从D点沿路径DCO移到O点的过程中，
电场力作的功为
A?Q(UD?UO)??qQ 6??0l［注：由于静电场是保守场，在静电场中移动电荷电场力作的功与移动的路径无关。］
习题7—15 A、B为真空中两个平行的无限大的均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/3，方向如图，则A、B两平面上的电荷面密度分别为?A? ；?B? 。
解：如图，设向右为正方向，且A、B两平面上的电荷面密度均大于零，则根据场强叠加原理
Ⅰ区： ??A?B1???E0 2?02?03Ⅱ区： 联立以上二式可得
?A?B???E0 2?02?0E0/3 E0/3
E0 习题7―15图
2?????0E0?A3 ?4??B??0E03?［注：用Ⅱ、Ⅲ区列式联立求解亦可］
习题7—16 两根平行的“无限长”均匀代正电直线1、2，相距为d，其电荷线密度分别为?1和?2，则场强等于零的点与直线1的距离为 。
解：设场强等于零的点与直线1的距离为a，则有
?1 ?2
?1?2? 2??0a2??0(d?a)可解得
a?a d 1 2
?1d
?1??2习题7―16图
习题7—17 两个平行的“无限大”均匀带电平面，其面电荷密度分别为??和?2?，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为EA= ；EB= ；EC= 。(设方向向右为正)
解：此题应当应用叠加原理，每个区域的电场强度等于每个均匀带电平面单独存在时产生的场强的矢量和。设自左向右的方向为正，则有 A区域内任一点的场强：
?2?3?EA?????
2?02?02?0B区域内任一点的场强：
?? ?2?
?2??EB????
2?02?02?0C区域内任一点的场强：
A B C
?2?3?EC???
2?02?02?0习题7―17图
习题7—18 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：Ex=bx，Ey=Ez=0，高斯面边长a=0.1m，常数b=1000N/(C?m)。试求该闭合面中包含的静电荷。
解：根据高斯定理，可有
???????qi??0?E?dS??0??E?dS??0??E?dS
iSx?ax?2a???0a2bxx?a??0a2bxx?2a
Y a O Z a a a 习题7―18图
???0ba3?2?0ba3??0ba3
?8.85?10?12?0.13?1000 ?8.85?10?12C
X
习题7─19 一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q，沿其下半部分均匀分布有电量－Q，如图所示，求圆心O处的电场强度。
解：如图所示，在半圆形玻璃棒的上半部分取一线元dl?Rd?，其位置处相应的半径与X轴负向的夹角为?，其带电量dq??dl?2Q?dl(?R)?2Qd??，其在O点产生的元场强的大小为
dl?Rd? Y d? +Q R dEx ? X
O ?–Q dEy dE
习题7―19图
dE?dqQd?? 2224??0R2??0R?其方向如图所示。由于各个线元产生的元场强方向不一致，因此需把dE分解
dEy??dEsi?n??Qsi?nd? 222??0R由于电荷分布的对称性，最终O点场强的X分量Ex?0。因此，圆心O处的电场强度的Y分量为
Ey?2?dEy?把O处的电场强度写成矢量式为
?? E?Eyj??QQ??0R22??20?si?nd???Q??0R22
?2?0R2?j
习题7─20 在真空中有一长为l=10cm的细杆，杆上均匀分布着电荷，已知其电荷线密度??1.0?10?5C/m，在杆的延长线上，距杆的一端为d=10cm的一点上，有一电量为q0?2.0?10?5C的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。
解法Ⅰ：沿细杆方向建立X轴方向向左，坐标原点就在q0所在处，在细杆上xdx 处取线元dx，其带电为dq??dx，线元在q0所在处产生的元场大小为
dE?dq?dx? 224??0x4??0xO q0 x d ? X
l 习题7―20图
整个细杆在q0所在处产生的电场大小为
?E??dE?4??0点电荷q0所受的电场力为
?d?lddx?11??l??(?)?
4??0d(d?l)x24??0dd?l??l?q01.0?10?5?0.10?2.0?10?5F?q0E???8.99N ?124??0d?(d?l)4?3.14?8.85?10?0.10?0.20解法Ⅱ：沿细杆方向建立X轴方向向左，坐标原点就在q0所在处，在细杆上x处取线元dx，其带电为dq??dx，线元在q0所在处产生的元场大小为
dE?dq?dx? 224??0x4??0x点电荷q0所受的该线元的作用力为 dF?q0dE?点电荷q0所受整个细杆的作用力为 F??dF???q0?dx
4??0x2??q0d?ldx??l?q0?
4??0?dx24??0d(d?l)带入已知数据，可以得到与解法Ⅰ相同的结果。
习题7─21 如图所示，真空中一“无限大”均匀带电平面，平面附近有一质量为m、电量为q的粒子，在电场力作用下，由静止开始沿电场方向运动一段距离l，获得大小为v的速度。试求平面上的面电荷密度。重力影响可以忽略不计。
解：根据动能定理有
A?qEl??1?ql?mv2?0 2?02 ?
q v l ?所以，平面上的面电荷密度为
???0mv2ql
习题7―21图
习题7─22 如图所示为一沿X轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，已知其电荷线密度为???0(x?a)，式中?0为常量，取U??0，求坐标原点O处的电势。
a O x l dx X
习题7―22图
解：在棒上x处取线元dx，其带电量dq??dx??0(x?a)dx，其在坐标原点O处产生的元电势为
dU?dq4??0x??0(x?a)dx
4??0x整个带电细棒在坐标原点O处产生的电势为 U??dU? ?
?0a?l?0aa?l??(1?)dx?x?alnxa ?a4??0x4??0?04??0a?l??l?aln ??a??习题7─23 一半径R的均匀带电圆盘，电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点。计算圆盘中心O处的电势。
解：在盘面上以O为原心，以r为半径，取宽度为dr的环带，它相当于带电圆环，其面积为dS?2?rdr，带电量为dq??dS??2?rdr，其在盘中心O处产生的元电势为
dU?dq4??0r???dr 2?0 ? 整个带电圆盘在圆盘中心O处产生的电势为 U??dU?O R r dr
?R?Rdr? ?02?02?0题解7―23图
?习题7─24 如图所示，在电矩为P的电偶极子的电场中，将一电量为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子的中心重合，R远大于电偶极子正负电荷之间的距离）移到B点。求此过程中 电场力作的功。
解：电偶极子的电场中某一点的电势为
??P?rPcos? U??4??0r34??0r2将一电量为q的点电荷从A点移到B点的过程中电场力作的功
A?q(UA?UB)?q(R
A
? P
习题7―24图
B
Pco?sPco0sqP?)??
4??0R24??0R22??0R2?［注意：电偶极子的电势公式中：r是场点对电偶极子的位置矢量，而且r需远
??大于电偶极子正负电荷之间的距离；式中?角是r与电偶极子的电矩P之间的夹角］
习题7─25 图为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解：以O为中心，以r(R1?r?R2)为半径，在球壳内取一厚度为dr的薄球壳，其可看成均匀带电球面，其带电量为dq??dV??4?r2dr，其在其内部任一点产生的电势为
?4?r2dr?dU????rdr
4??0r4??0r?0dq整个球壳在空腔内任一点产生的电势为
r O R1 R2 dr
习题7―25图