?R?U??dU???rdr??0R?021??1?2??r2???(R2?R12) ?2?R12?0R2［注意：本题应用均匀带电球面的电势公式通过积分的方法非常简便地求得了结果；该题还可以先用高斯定理求出场分布，再用场强与电势的积分关系通过积分算出结果，但是这样的作法较麻烦，同学们可以试一试。］
习题7─26 图为两个半径均为R的非导体
–Q +Q 球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q和-Q，两球心相距为d(d>>2R)。求两球心间R R O2 O 1的电势差。
解：选择两球心连线为积分路径，在该
d 路径上距O1为r的某点的电场强度大小为
E?Q4??0r2?Q 24??0(d?r)习题7―26图
电场强度的方向是从O1指向O2。两个非导体球壳都在表面上均匀带电，它们均可视为均匀带电球面，因此每个球壳各自都是个等势体，故而两球心间的电势差即为两球表面间的电势差，所以有
U12??d?R??QQ??E?dl????dr 22?R4??r4??(d?r)00??Q?1?????4??0?r?R?d?RQ?1? ???4??0?d?r?Rd?RQ?(d?2R)Q?
2??0R?(d?R)2??0R［注：此题原来给出的答案可能是错的。］
习题7─27 电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，设无穷远处为电势零点，试证明离球心r(r Q(3R2?r2) U? 8??0R3证明：由高斯定理容易算出该球体内外的场分布： ?Qr??4??0R3 E??Q?2??4??0r因此，离球心为r(r ??R U??E?dl??E?dr??r0≤r≤R r≥R ?QrQdr??R4??0r2dr 4??0R3Q?12? ?r?4??0R3??2??r4??0 ?Q8??0R3?(R2?r2)?QR?1??? ??r?R ?Q4??0RQ(3R2?r2) ? 8??0R3 习题7—28 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 qr?(r?R)???4 ??R (r?R) ????0式中q为一正的常数。试求：(1) 带电球体的总电量；(2) 球内、外各点的电场 强度；(3) 球内、外各点的电势。 解：(1) 带电球体的总电量为 Rqr2Q?????dV???4?rdr?q 0?R4(2) 取半径为r的同心球形高斯面，则有 在r ?1??E?dS?S?0???V?dV?qr?4?r2dr 4??00?Rr1qr4 4?rE??0R42qr2∴ E? 44??0R在r>R区间： 4?r2E?1?0qq ∴ E?所以场强分布为 4??0r2 ?qr2 (r?R)?4 ?4??0R E?? q?(R?R)2 ?4??r0? (3) 根据场强与电势的积分关系 在r U??Rr?????RE?dl??E?dl??Rr?qr2qdr?dr 42?R4??0R4??0rqr3 ??3??0R12??0R4q在r>R区间： U???r???E?dl??rq4??0rdr?2q4??0r 所以电势分布为 ?qqr3(r?R)??4?3??0R12??0R U??q?(r?R)?4??r0? 习题7—29 图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。试求板内外的场强分布并画出场强在X轴的投影值随坐标x变化的图线，即Ex—x图线( 设原点在带电平 S －x O x X 板的中央平面上，OX轴垂直于平板)。 解：以X轴为轴线取一闭合圆柱面S，使其两个端面距带电平板的中央平面等距，即两 d 端面分别在x和－x处，同时设端面积为?S， 习题7―29图 根据高斯定理 在平板内有： 1?2x??S 2E?S??0?x (x?d2) ∴ E??0在平板外有： 2E?S?1?0??d?S ∴ E??d (x?d2) 2?0?d 2?0O －d/2 ?E d/2 场强在X轴的投影值随坐标x变化的图线如图所示。 ?d 2?0X 题解7―29图 静电场一章补充习题及答案 习题15─52(2000.1习题集) 一“无限长”均匀带电半圆柱面，半径为R，若半圆柱面 O? 沿轴线单位长度上的电量为?，试求轴线上任一点的电场强度。 窄分析：该题求解的关键在如何取“元电条面R 荷”，根据“无限长”的对称性，应当在柱元O 面上、沿轴线方向取 “无限长” 窄条元电 荷，这样的“窄条”可以看成是“无限长” 题解15―52图1 均匀带电直线。 解：如图所示是该半圆柱面的垂直于轴线的横截面（在XOY平面内），轴线沿Z轴方向。设所取“窄条”宽度为dl?Rd?， 其电荷线密度为 Y dl?Rd???Rd?? ????dl??d? d? ?R?R??R dEx 其在轴线上某点的元场强的大小为 θ ???d?? dE? 22??0R2??0R?元场的方向如图所标。现把dE进行分解 dEx?dEcos???? dEy dE 题解15―52图2 O θ X ??cos??d? 22??0R??sin??d? 2?2?0RdEy??dEsin???由于对称性，?dEx?0。因此，轴线上最终的场强为 E??dEy????sin??d? 2?02??0R ?写成矢量式有 ???(c?o)s?? 02?2?0R?2?0R??j 2??0R?? E?Eyj?? 习题15─61(2000.1习题集) 一锥顶角为?的圆台，上下底面半径分别为R1和 R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为?，求顶点O的电势。(以无穷远处为电势零点) 分析：此题的关键仍是取“元电荷”的问题，根据带电体的形状，应该在圆 O 台面上取与其共轴的窄圆环（球带），该球带可视为均匀带电圆环。解：如图，取半径为r(R1?r?R2)、θθdl 母线长为dl的球带（环形电荷元），其侧R1 dr 面积为dS?2?rd，l带电量为 ? dl r dl?drsin?，由于dq???dS?2???rd，l因此，dq?2???rdrsin?，其在O点产 R2 生的元电势为 dU?故顶点O的电势为 U??dU?dq4??0l?2???rdr?61?题解15?―dr 图 4??0?sin??rsin?2?0?R?dr?(R2?R1) ?R2?02?021 习题15—69(2000.1习题集) 如图所示，在一个电荷体密度为?的均匀带电球体中，挖出一个以O?为球心的球状小空腔，空腔的球心O??相对于带电球体中心O的位置矢量用b表示，试证明球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为 ???E?b 3?0 ? r ? a O ? O? b ?习题15―69图 分析：均匀带电球体中挖去一个球状空腔，电荷分布及场分布已经不具有对称性，所以不能直接用高斯定理求解，但是可以间接使用高斯定理求解。如图所示，该球体可以看成一个与其等大的、电荷体密度为?的完整无损的均匀带电球体和另一个与球形小空腔等大的、电荷体密度为??的完整无损的均匀带电小球体叠加而成，按叠加原理，空间任一点的场应等于上述两个带电球体各自单独存在时产生的场之叠加。 ? ? ?? ╋ ＝ 题解15―69图 ?解：设空腔内任一点P对O点的位置矢量为r，电荷体密度为?的完整无