C?Q0Q???rC0?C0 UU0?r所以C↑；电场能量为
21Q21Q01W?????W0?W0
2C2?rC0?r所以W↓。综上所述，应当选择答案(B)。
习题8—8 C1和C2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，则：［ ］
(A) C1和C2极板上电量都不变。
(B) C1极板上电量增大，C2极板上电量不变。 (C) C1极板上电量增大，C2极板上电量减少。 (D) C1极板上电量减少，C2极板上电量增大。
解：充电后将电源断开，两电容器的总电量不变，即
q1?q2?常量 (※)
由于两电容器并联，它们的电势差U相等，因此它们所带的电量(q=CU)与它们的电容量成正比，但因C1中插入了介质板，所以C1的电容量增加，即q1↑，由(※)式可知，这时q2 应当减少，所以应当选择答案(C)。
习题8—9 两个薄金属同心球壳，半径各为R1和R2(R1 (A) U1 (B) U2 (C) U1+U2 (D) (U1+U2)/2 解：用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为R2的均匀带电球面，因此其电势为 U?q1?q2 4??0R2原来两球壳未连起来之前，内球电势为 U1?外球电势为 U2?q14??0R2?q24??0R2?q1?q2 4??0R2q14??0R1?q24??0R2 ????q1q2?q1?q2??dr?[或者：U??E?dl??E外?dr???] 2?R2?4??r24??0R24??0r?0?因此， U?U2 所以，应选择答案(B)。 习题8—10 一平行板电容器充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质，已知介质表面极化电荷面密度为???。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：［ ］ ???????? (A) (B) (C) (D) ?0?0?r2?0?r解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为???的无限大平行平面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为 E?????????? 2?02?0?0所以，应当选择答案(A)。 习题8—11 两块面积均为S的金属板A和B彼此平行放置，板间距离为d(d远小于板的线度)，设A板带电为q1，B板带电为q2，则A、B两板间的电势差为：［ ］ (A) q1?q2q?q2q?q2q?q2d (B) 1d (C) 1d (D) 1d 2?0S4?0S2?0S4?0Sq1 q2 解：如图所示，设A、B两块平行金属板的四个 表面的电荷面密度分别为?1，?2，?3和?4，则根 据电荷守恒有 ?1S??2S?q1 ① ?3S??4S?q2 ② 根据静电平衡条件有 σ1 σ 2 σ 3 σ 4 A B 题解8―11图 ?1?2?3?4????0 ③ 2?02?02?02?0?1?2?3?4????0 ④ 2?02?02?02?0联立解得 q1?q2?????4?12S ?q1?q2??2???3?2S?根据叠加原理，两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；两内侧的电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为 E?因而A、B两板间的电势差为 ?2?3?2q1?q2 ???2?02?0?02?0Sq1?q2d 2?0SUAB?Ed?可以看出，应该选择答案(C)。 习题8—12 一空气平行板电容器，两极板间距为d，充电后板间电压为U。现将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，则板间电压变成U?= 。 解法Ⅰ：电源断开前后极板带电量不变，因而极间场强不变；由于在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，相当于极板间距变为原来的2/3，因此，板间电压相应地也变为原来的2/3，即 2 U???U 3解法Ⅱ：设未将电源断开 (也未插入金属板) 时电容器的电容为C，这时电容器极板的电压为 q U? C将电源断开后极板的电量将保持不变，但因在两板间平行地插入一厚度为d/3的金属板，这相当于极板间距变为2d/3，因而电容器的电容变为 C??dd3?C??C?C d?2?2?d???3?因此，现板间电压为 U??C2??U ?C3 习题8—13 A、B为两个电容值都等于C的电容器，A带电量为Q，B带电量为2Q，现将A、B并联后，系统电场能量的增量?W＝ 。 解：A、B并联后，系统的等效电容为2C，带电量为3Q，因此，系统电场 能量的增量为 1(3Q)2?Q2(2Q)2?Q2 ?W?W??W????????22C2C?4C?2C 习题8—14 一空气平行板电容器，其电容值为C0。充电后电场能量为W0。在保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质，则此时电容器的电容值C= ，电场能量W= 。 解：充满介质后，电容器的电容值增大了?r倍，因此有C??rC0；由电容器储能公式 1W?CU2 2充满介质后，两极板间电压U不变，只是电容值增大了?r倍，因而其能量相应地增大为原来的?r倍，即W??rW0。 习题8—15 半径为0.1m的孤立带电导体球，其电势为300V，则离导体球中心30cm处的电势为U= 。 解：孤立导体球的电量为 Q?CU?4??0RUR 其电荷分布是一个均匀带电球面，因而其电势分布为 U?Q4??0r?RUR r把r=0.30m、R=0.1m及UR=300V代入上式可得U=100V。 习题8—16 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为?r的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为??和??，则介质中电位移矢量的大小为D= ；电场强度的大小为E= 。 解：取半径为r(R1 ??D?dS?2?rhD??h ?侧因此 D?根据电位移与场强的关系可得 E?D? 2?r??0?r? 2??0?rr 习题8—17 两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于各孤立导体球的电容值的一半。 证明：设两球分别带电+Q和﹣Q，因为它们相距很远，各自都可以看作“孤立”的。该两球的电势差为 U12?U1?U2?Q4??0R?(?Q)Q? 4??0R2??0R所以，该导体组的电容为 C?Q?2??0R U12而对于各孤立导体球的电容则为C0?4??0R，因此我们有 C?1C0 2证毕。 习题8—18 证明：半径为R的孤立球形导体，带电量为2Q，其电场能量恰与半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量相等。 证明：半径为R的孤立球形导体的电容为 C1?4??0R 其带电为2Q时的电场能量为 1(2Q)24Q2Q2 W1????2C12?4??0R2??0R同理，半径为R/4、带电量为Q的孤立球形导体的电场能量为 1Q2Q2Q2W2?????W1 2C22?4??0?(R4)2??0R 习题8—19 两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都与地连接。在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)， X S x O – x 离子数密度为n，每个离子的带电量为 O? 2d q，如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对于中心平面OO?是对称的。试求两板间的电场分布和电势习题8―19图 分布。 分析：由于电场分布相对于中心平面OO?是对称的，因此求板间电场可以考虑用高斯定理。