R?mv2mv? qB?0qi可见，欲使粒子不与平板相碰撞，粒子最初至少在距板为R的位置处。
粒子从开始运动到回到原处所需的最短时间刚好是一个周期，即
t?T?2?R2?m4?m?? vqB?0qi
习题9—23 半径为R的圆盘带有正电荷，其电荷面密度??kr，k是常数，r为圆盘
R 上一点到圆心的距离，圆盘放在一均匀磁??? ? 场B中，其法线方向与B垂直。当圆盘以 B
角速度?绕过圆心O点且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩
习题9―23图
的大小和方向。
解：在圆盘上取半径为r、宽度为dr的细圆环，环面积为dS?2?rdr，环的带电量为dq??dS?kr?2?rdr?2?kr2dr。其等效环电流为
dI?其元磁矩大小为
dPm?dI??r2?k??r4dr
dqdq??k?r2dr T2???dPm的方向垂直于纸面向外。整个转动圆盘的磁矩为
1Pm??dPm?k???r4dr?k??R5
05R?Pm的方向垂直于纸面向外。根据线圈在磁场中所受磁力矩公式
??? M?P?B
可得圆盘所受磁力矩的大小为
1?1 M?Pm?Bsi?n?k??R5Bsin?k??R5B
525??M 的方向垂直于B向上。
习题9—24 如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd 相互平行，相距为3r，今有载有电流I3的导线MN=r水平放置，且其两端M、N分别与I1、I2的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向。
解：建立图示坐标系，在I1和I2之间任一点x处的磁感应强度(暂设垂直于
纸面向里为正)为 a c
I1 I2 I3 M N
r r r
b d 习题9―24图 B(x)?MN上电流元I3dx受到的力为
? dF ? B(x) ? I3dl I3 x x+dx 题解9―24图
M N
X
?0I1?0I2? 2?x2?(3r?x)dF?BI3dx， 方向“↑”
整个MN受到的力的大小为
?0I2???IdF??dF???01?I3dx ?r?2?x2?(3r?x)?2r??0I3(I1?I2)ln2， 方向“↑” 2???讨论：若I1?I2，则F方向向上；反之，若I1?I2，则F方向向下。
习题9—25 空气中有一半径为r的无限长r/2 O 直圆柱金属导体，竖直线OO?为其中心轴线，r 在圆柱体内挖一个直径为r/2的圆柱空洞，
?P 空洞侧面与OO?相切，在未挖洞部分通以均 ? 3r ﹣e 匀分布的电流I，方向沿OO?向下，如图所示。
?在距轴线3r处有一电子(电量为-e)沿平行于 v O? OO?轴方向，在中心轴线OO?和空洞轴线所
?决定的平面内，向下以速度v飞经P点，求习题9―25图 电子经P时，所受的磁场力。
分析：此题所给的载流圆柱体的内部被挖去一洞，属于“破缺型”问题，仿照静电学中的类似问题采用的“反号电荷补偿法”，这里我们采用“反向电流补偿法”进行处理。设想在空洞位置是一电流密度与未挖部分的电流密度相等而流向相反的电流，这样原来的载流体系就等价于电流密度为?的、向下均匀流动、半径为r的完整圆柱导体和一个电流密度也为?、但向上均匀流动、半径为r/4
的完整较小的圆柱导体构建而成。因而，空间任一点的场应为这两个电流各自产生的场的叠加。
解：设流经导体截面的电流密度为
??向上的电流在P点产生的场为
B1?I?r2??(r4)?16I 215?r?0??(r4)， 方向“⊙”
2?(3r?r4)向下的电流在P点产生的场为
?0??r2 B2?， 方向“⊕”
2??3rP点最终的场为
BP?B2?B1?8282?0I?0?r??， 方向“⊕” 528495?r根据洛仑兹力公式，此刻飞经P点的电子所受力的大小为
f?evBP?82?0I?ev， 方向“←” 495?r
习题9—26 长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb?沿半径方向与圆环接于点b，如图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b
????流出。(1) 求圆环中点O的磁感应强度BO；(2) B沿闭合环路L的环流?B?dl等
L于什么？
解：(1) 圆环中点O的磁感应强度可I a? a L 以看成aa?段、三分之一圆周、三分之二
120° 圆周和bb?段共四段电流产生的场的叠
R O 加。因为aa?段电流单独产生的场为 B1??0I， 方向“⊙” 4?Rb I 三分之一圆周电流单独产生的场为 B2?习题9―26图
b?
?I1?02??I?0， 方向“⊕” 32R39R三分之二圆周电流单独产生的场为
B3??I2?01??I?0， 方向“⊙” 32R39Rbb?段电流单独产生的场为
B4?0 因此，圆环中点O的磁感应强度为
BO?B1?B2?B3?B4?B1??0I， 方向“⊙” 4?R?(2) B沿闭合环路L的环流为
??21 ?B?dl??0(I?)??0I
L33
习题9—27 设右图中两导线中的电
c 流I1、I2均为8A，对在它们磁场中的b a 三条闭合曲线a，b，c分别写出安培环
I2 I1 路定理等式右边电流的代数和。并说
明：
(1) 各条闭合曲线上，各点的磁感
习题9―27图
应强度B的量值是否相等?
(2) 在闭合曲线c上各点的B值是 否为零?为什么?
解：对闭合曲线a为8A；对闭合曲线b亦为8A；对闭合曲线c为0。 (1) 在个条闭合曲线上，各点的磁感应强度的量值并不相等。 (2) 在闭合曲线c上各点的磁感应强度的量值不为零，因为该曲线上的场是 由I1和I2共同产生的，场强叠加的结果。
习题9—28 一块半导体的体积为a×b×c，Z ?如图所示，沿X轴方向通有电流I，在Z方 B ?b 向有均匀磁场B。这时实验测得的数据为aY
a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.0cm，I=1.0mA，
c A A? B=0.30T，半导体两侧的霍耳电势差I UAA??6.55mV。(1) 问这块半导体是P型
X 还是N型？(2) 求载流子的浓度。
习题9―28图
解：(1) 根据题给图示，可知
UH??UAA???6.55mA<0
因此，载流子是负的，对半导体则是电子，可以判断出这是N型半导体。
(2) 由霍耳电势差公式
1IB? UH?nea可得载流子的浓度为
IB1.0?10?3?0.3020?3 n???2.86?10m?3?19?3aeUH1.0?10?1.60?10?6.55?10
稳恒磁场一章补充题
习题9—7 在真空中同一平面内，有两个
??置于不同位置的电流元I1dl和I2dl，它们之间的相互作用力大小相等，方向相反的条件是 。它们之
?? F21 Idl
2? ? r?间的相互作用力满足牛顿第三运动定律的 ? I1dl ?条件是 。
F12 解：如图所示的两相互平行的电流元，第二个电流元受到第一个电流元的作用力的大小为
F21?习题9―7图
?0I1dlsin???I2dl 4?r2?F21的方向水平向左；第一个电流元受到第二个电流元的作用力的大小为
F12??0I2dlsin(???)??I1dl 24?r?F12的方向水平向右。由此可见，两电流元之间的相互作用力大小相等，方向相
反的条件是：两电流元平行放置。若使它们之间的相互作用力满足牛顿第三运动
?????定律，除了相互作用力等大反向外，还需F12与F21在同一直线上，即r和F12、F21的方向之夹角为零或?，即?2???0????2。因此，两电流元之间的相互作用力满足牛顿第三运动定律的条件是：两电流元平行放置，并且与它们之间的连线垂直。
??习题9—19 一边长为l的正方形线圈载有电流I，处在均匀外磁场B中，B垂直 于图面向外，线圈可绕中心的竖直轴OO?无摩擦地转动(见图)，其转动惯量为J， 求线圈在平衡位置附近作微小摆动的周期。
O I
? B ⊙I
? O? 习题9―19图
?? B Pm
题解9―19图