大学物理学习指导习题答案(6)

解：设中心平面OO?处为X轴的原点，可以看出，板间电场都与X轴平行：在-d

?1? ?E?dS?S?0?qii

??即 ??E?dS?侧面左端面????E?dS?右端面??1?1?E?dS??0?qii

0?E??S?E??S??0?(nq?2x??S)

解得

E?nq?0?x (-d

写成矢量式

?nq?E?xi

?0两板间任一点的电势为

??ddnqnq2U??E?dl??E?dx??xdx?(d?x2) (-d

xx?2?00

习题8—20 两根平行“无限长” 均匀带电直线，相距为d，导线半径都是R(R<

解：建立如图所示的坐标系，则两线间任一点的场为

E(x)???? 2??0x2??0(d?x)d 两线间的电势差

U12??E?dx??2??0?d?RR11(?)dx xd?x ??d?Rln ??0RP O x X

R 单位长度的电容为 C0??U12?ln??0d?RR

R 题解8―20图

［注意：① 两线间的电场强度E是两个带电直线共同产生，应当用统一坐标系表示；② 每一条导线作为导体，各自都是等势体，因此求电势差的积分限取R到d－R。］

习题8—21 电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常数为 ?r的各向同性均匀电介质，若内外筒分别带有等量异号电荷+Q和－Q。设b-a<>b，可以忽略边缘效应，求

(1) 圆柱形电容器的电容；(2) 电容器储存的能量。

解：(1) 由于b-a<>b，所以两个同轴圆筒可看成“无限长”，它们沿长度方向电荷线密度为±Q∕L，两筒间的场为

E?QL??

2??0?rr2??0?rr两筒间的电势差为

Uab??E?dr?2??0?rL?aQb1Qb?dr?ln r2??0?rLa圆柱形电容器的电容为

C?2??0?rLqQ??

bUabUablna(2) 电容器储存的能量为

1Q2Q2bWe????ln

2C4??0?rLa

习题8—22 半径为R的金属球，球上带电荷－Q，球外充满介电常数为?的各向同性的均匀电介质，求电场中储存的电场能。

解法Ⅰ：由高斯定理容易求得带电金属球内外的场分布

０≤r＜R 0,?? E???Q

,?r＞R ?4??r2显然，电场能量密度为

12Q2we??E?

232?2?r4在距金属球球心为r处取厚度为dr 的薄球壳体积元，其体积为dV?4?r2dr，在

其内储存的电场能为

Q2dWe?we?dV?dr 28??r因此，金属球电场中储存的电场能为

Q2We??dWe?V8??drQ2?Rr2?8??R

?解法Ⅱ：孤立导体球(球外充满介电常数为?的各向同性的均匀电介质)的电容为

C?4??R

电容器储能公式，可以求得金属球电场中储存的电场能为

1Q2Q2We???

2C8??R［注：比较两种方法，容易看出第二种方法更简单。］

习题8—23 半径分别为1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各自带电量1.0?10?8C，两球心间相距很远。若用细导线将两球相接，求：(1) 每个球所带的电量；(2) 每个球的电势。

解：(1) 两个球用导线连接后，电荷重新分布，设这时两球分别带电为q1和q2，由电荷守恒有

q1?q2?q ①

式①中q为连接前两球的总带电量，q?2.0?10?8C。用导线连接后两球等势

UR1?UR2

即

q14??0R1?q24??0R2 ②

联立①、②解得

q1?R1q1??2.0?10?8?6.67?10?9C

R1?R21?2R2q2??2.0?10?8?13.3?10?9C

R1?R21?2q2?(2) 由于两球相距很远，它们的相互影响可以忽略，可以看成孤立、均匀带 电的导体球，因此它们的电势为

UR1?q14??0R1?9.0?109?6.67?10?9?1.0?10?2?6.0?103V

UR2?UR1?6.0?103V

［注意：该题中的两球体是导体球，它们带的电只能分布在外表面；而且两者相距很远，都可以看作是表面均匀带电，因此，应该按均匀带电球面来计算它们的电势。］

习题8—24 两个电容器的电容之比为C1∶C2=1∶2。

(1) 把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是多少? (2) 如果是并联充电，电能之比是多少?

(3) 在上述两种情况下电容器系统的总电能之比是多少? 解：(1) 两个电容器串联它们的带电量相等，根据公式

1q2W??

2C可知它们的电能与电容量成反比，因此有

W1W2?C2C1?21

(2) 两个电容器并联它们的电压相等，根据公式

1W?CU2

2可知它们的电能与电容量成正比，因此有

W1W2?C1C2?12

(3) 在以上两种情况下电容器系统的电容分别为 C串?C1C2 ； C并?C1?C2

C1?C2由于电源电压一定，因此两种情况下电容器系统的总电能应与它们的电容成正比，所以有

W串W并?C串C并?C1C2C1C2? 2(C1?C2)2C12?2C1C2?C2?11??29

C1C2?2?C2C112?2?21

习题8—25 一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为E0=200kV/cm，试求该电容器可能承受的最高电压。

解：设该电容器的内、外柱半径分别为a和b，内、外柱带电分别为?和??，则内、外柱间的场分布为

E?? (a

? 2??a Uab根据最值条件，可令

???Edr?a2??b?badr?bb?ln?aE0ln (﹡) r2??aadUabba?b?b?E0ln?aE0????2??E0(ln?1)?0 daab?a?abb?1， a? ae代入(﹡)式即可得到该电容器可能承受的最高电压 ∴ ln Umaxb2?200?103?E0??1.47?105V e2.7182

习题8—26 图示为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表附近的电场强度最小? 并求这个最小电场强度的大小。

解：内外导体间的电势差满足下面关系

11U?(?) ①

4??0abqa O b 习题8―26图

内球表面附近的电场强度可表示为

E?把①代入②得

E?UbU? ③

112ab?a2(?)aabq4??0a2 ②

把③对a求导数并令其等于零 解得

dEd?bU?bU(2a?b)??0 ???dada?ab?a2?(ab?a2)2b 2所以，当a=b/2时，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为 a?Emin?bUbU4U??

bab?a2b22?b24R2 R1