程 焦半径 范围 顶点 离心率|PF|?x0?p 2|PF|??x0?p 2|PF|??y0?p 2|PF|?y0?p 2x?0 x?0 y?0 y?0 O(0,0) O(0,0) e?1 e?1 e 【热点难点精析】
一、曲线与方程
（一）用直接法求轨迹方程 ※相关链接※
1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。
※例题解析※
〖例〗如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x?2y?4交于A、B两点，P是
22l上满足
的点，求点P的轨迹方程。
求P点
思路解析：设P点坐标为(x,y)?求出A、B两点坐标?代入轨迹?标明x的范围。
解答：设P点的坐标为(x,y)，则由方程x?2y?4，得2y?4?x，∴
22224?x24?x24?x2，∴A、B两点的坐标分别为(x,y??),(x,?)，又222，
∴
4?x24?x2(0,?y)?(0,??y)?122，即
4?x2y?221?,x2?6y2?l1与椭圆交于两点，∴,?又直线-2 1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。 ※例题解析※ 〖例〗如图所示， 一动圆与圆x?y?6x?5?0外切，同时与圆x?y?6x?91?0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。 思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。 解答：方法一 设动圆圆心为M（x,y）,半径为R，设已知圆的加以分别为O1、O2， 将圆的方程分别配方得： 当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2????① ， 2222当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=R+2?????② 将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|， ∴动圆圆心M（x,y）到点O1（-3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12， 所以点M的轨迹是焦点为点O1（-3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆。 ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6 ∴b2?36?9?27 x2y2??1，轨迹为椭圆。 ∴圆心轨迹方程为 3627方法二：由方法一可得方程两边分别平方得： 两边再平方得： 移项再 x2y2??1 ，整理得 3627x2y2??1，轨迹为椭圆。 所以圆心轨迹方程为 3627注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。 （2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。 （3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。 （三）用相关点法（代入法）求轨迹方程 ※相关链接※ 1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x?、y?Q(x?,y?)的运动而有规律的运动， 表示x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x??f(x,y),y??g(x,y)，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。 ※例题解析※ ????????〖例〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足QA?QB?4，点P是点Q关 于直线y=2(x-4)的对称点，求动点P的轨迹方程。 思路解析：由已知易得动点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关系，代入即可。 解答： ????????设Q（x,y），则QA?(?1?x,?y),QB(1?x,4?y), ????????故由QA?QB?4?(?1?x)(1?x)?(?y)(4?y)?4，即x2?(y?2)2?32 所以点Q的轨迹是以C（0，2）为圆心，以3为半径的圆。 ∵点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点。 ∴动点P的轨迹是一个以C0(x0,y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0,y0)是点C（0，2）关于直线y=2(x-4) 的对称点，即直线y=2(x-4)过CC0的中点，且与CC0垂直，于是有 ?y0?2?2??1??x0?0， ??y0?2?2(x0?0?4)??22解得：??x0?8 ?y0?222故动点P的轨迹方程为(x?8)?(y?2)?9。 （四）用参数法求轨迹方程 y2?1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原〖例〗设椭圆方程为x?42点，点P满足OP?111(OA?OB),点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，求： 222（1）动点P的轨迹方程； （2）NP的最小值与最大值。 解析：（1）直线l过点M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y?kx?1,记 ?y?kx?1,?B的坐标(x1,y1)、A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、(x2,y2),是方程组?2y2?1.?x?4?2k?x?x??2??14?k222的解，消去y得(4?k)x?2kx?3?0,??于是 8?y?y?12?4?k2?OP?x?x2y1?y21?k4(OA?OB)?(1,)?(,)， 222224?k4?k?k?x?,2??4?k设点P的坐标为(x,y)，则? 4?y?.2?4?k?消去参数k得4x?y?y?0 ① 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程①， 所以点P的轨迹方程为4x2?y2?y?0。 2（2）由点P的轨迹方程知x?22111,即??x?, 164412117?4x2??3(x?)2?,故 4612222又NP?(x?)?(y?)?(x?)?1212当x?11时，NP取得最小值为； 44121时，NP取得最大值为。 66当x?? 二、椭圆 （一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是： （1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。 x2y2x2y2（2）设方程：根据上述判断设方程2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0)。 abba