即
即
故存在k=±1,使对任意m>0，总有（2）
成立。
由即
注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐。
（1）本题第（1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。
（2）第（2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。
三、双曲线
（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※
1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。
2．求双曲线标准方程的方法
（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是
①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：
mx2?ny2?1(mn?0)。
※例题解析※
〖例〗已知动圆M与圆C1:(x?4)2?y2?2外切，与圆C2:(x?4)2?y2?2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。
思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。
解
答
：
设
动
圆
M
的
半
径
为
r
则
由
已
知
|MC1|?r?2,|MC2|?r?2,?|MC1|?|MC2|?22。
又C1（-4，0），C2（4，0），∴|C1C2|=8，∴22<|C1C2|。
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支。
?a?2,c?4,?b2?c2?a2?14 x2y2?点M的轨迹方程是??1(x?2)214（二）双曲线的几何性质 ※相关链接※
1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。同时要熟练掌握以下三方面内容：
（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；
（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系。
如
注：（1）已知渐近线方程为
则双曲线的标准方程为
的形式，根据其他条件确定?的正负。若?>0，焦点在x轴
上；若?<0，焦点在y轴上。
x2y2x2y2（2）与双曲线2?2?1共渐近的双曲线方程为2?2??(??0)；
ababx2y2x2y2?2?1(?b2???a2)。 与双曲线2?2?1共焦点的圆锥曲线方程为2a??b??ab※例题解析※
〖例〗中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2，且
|F1F2|?213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求cos?F1PF2的值。
x2y2思路解析：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，双曲线方程为
abx2y2??1(m?0,n?0)→分别求a,b,m,n的值→利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得m2n2cos?F1PF2。
解答：（1）由已知：c?13，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则
?a?m?4??1313，
?3??7?m?a解得a=7,m=3. ∴b=6,n=2.
x2y2x2y2??1,双曲线方程为??1。 ∴椭圆方程为
493694（2）不妨设F1,F2分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则
所以
又
|F1F2|?213，
∴cos?F1PF2=
（三）直线与双曲线的位置关系
y2?1截得的弦长； 〖例〗（1）求直线y?x?1被双曲线x?42y2?1截得的弦中点轨迹方程 （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线x?42?2y2?1?x?4?22?y?x?14x?(x?1)?4?0得3x2?2x?5?0（*） ?解析：由得
25x1?x2?,x1x2??33 得， 设方程（*）的解为x1,x2，则有
d?2|x1?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?24208??2933 （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y?kx?1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P(x,y)，
?y?kx?1??2y2?122?x?(4?k)x?2kx?5?0（*） ?4由得
22x,x??4k?20(4?k)?0， 设方程（*）的解为12，则
∴16k?80,|k|?5，
2且
x1?x2?2k5,xx??124?k24?k2，
x?∴
1k114(x1?x2)?,y?(y?y)?(x?x)?1?121224?k2224?k2，
k?x???4?k2??y?4?4?k2 ?224x?y?y?0(y??4或y?0)。 得
方法二：设弦的两个端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中点为P(x,y)，则
22??4x1?y1?4?22??4x2?y2?4得：4(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，
y1?y24(x1?x2)y4x??22x?xy?y4x?y?y?0（图象的一部分）xy?11212∴， 即， 即
注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力，所以成为高考的热点。
在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时⊿>0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域。
四、抛物线
（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※
1．抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距