离，这样就可以使问题简单化。
2．焦半径注意灵活运用。
※例题解析※
它们在解题中有重要作用，
〖例〗已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。
解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ① 由①的顶点到原点的距离为5，得h?k=5
22 ②
在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则 |x1-x2|=2?ak。
将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为 (x-h)=a(y-k-3)
令y=0，得x-2hx+h+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则 |x3-x4|=2?ak?3a。 依题意得2?ak?3a=
2
2
2
1·2?ak， 22
即 4(ak+3a)=ak ③
将抛物线①向左平移1个单位，得(x-h+1)=a(y-k), 由抛物线过原点，得(1-h)=-ak ④
由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。 ∴所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。 （二）抛物线的标准方程与几何性质 ※相关链接※
1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；
2．对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若A(x1,y1),B(x2,y2)2
是抛物线y2?2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1?y2可得如下等式kAB?2p。
y2?y1注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。
※例题解析※
〖例〗已知如图所示，抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为
B，OB的中点为M。
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。
思路解析：由抛物线定义求p→求直线FA，MN的方程→解方程组得N点坐标。 解答：（1）抛物线y?2px(p?0)的准线为x??线方程为y2=4x
（２）∵点A的坐标是（４，４），由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴kFA?∵MN⊥FA,∴kMN??2pp于是4+=5，∴p=2．∴抛物224.3343.则FA的方程为y?(x?1),MN的方程为y-2=?x,解方程组43484??x?y?(x?1)????53,得 ??43?y?2??x?y???5?4?∴N(,).
(三)直线与抛物线的位置关系
8455※相关链接※
1.直线与抛物线的位置关系
设抛线方程为y2?2px(p?0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my+ny+q=0,
(1)若m≠0,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点; 当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点; 当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.
(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行. 2.焦点弦问题
已知AB是过抛物线y2?2px(p?0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
2
p2(1) y1·y2=-p,x1·x2=;
42
（2）|AB|?x1?x2?p?（3）S?ABC2p(?为直线AB的倾斜角); sin2?p2?； 2sin?（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 ※例题解析※
〖例〗已知抛物线方程为y?2p(x?1)(p?0)，直线l:x?y?m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解析：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|?3.
由距离公式|AB|=(x1?x2)2?(y1?y2)2=1?1|y1?y2|?2|y1?y2|,则有(y1?y2)2?9.
2k22由?x?y??1?2,消去x,得y2?2py?p2?0. ??y2?2p(x?1).??p
??(2p)2?4p2?0.?y1?y2??2p,y1y2??p2.
24从而(y1?y2)2?(y1?y2)2?4y1y2,即(?2p)2?4p2?9.由于p>0，解得p?3. （四）抛物线的实际应用
〖例〗如图，l1，l2是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；
（Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距
离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km．求 此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）
解析：（1）分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），
N（3，9）
2y?ax?c，则有 设MN所在抛物线的方程为
?4?4a?c?a?1??9?9a?cc?0 ?，解得?2y?x∴所求方程为（2≤x≤3）
25分
（说明：若建系后直接射抛物线方程为x?2py(p?0)，代入一个点坐标求对方程，
本问扣2分）
2xx （2）设抛物线弧上任意一点P（，）（2≤x≤3）
|PA|?x2?(x2?t)2)t厂址为点A（0，）（5＜t≤8，由题意得≥6
422x?(1?2t)x?(t?6)≥0 ∴
2令u?x，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
7分
22u?[4,9]u?(1?2t)u?(t?6)≥0恒成立（*） ∴对于任意的，不等式22f(u)?u?(1?2t)u?(t?6)，∵5?t≤8 设
8分
91?2t15??2≤2. ∴222(2t?1)?4(t?6)≤0 要使（*）恒成立，需△≤0，即
10分
2525解得t≥4，∴t的最小值为4
所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km
12分
注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。
【感悟高考真题】
1．（2010·陕西文数）9.已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为
（A）
[C] （C）2
（D）4
2
2
2
1 2（B）1
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x??圆
（x－3）＋y＝16相切，所以3?2
2
2
2
p2
，因为抛物线y＝2px（p>0）的准线与2p?4,p?2 22
2
法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0） 所以?p??1,p?2 22．（2010·辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为