（3）找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组。 （4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设
x2y2??1(m?0,n?0,m?n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为mnAx2?By2?1(A?0,B?0且A?B)，这种形式在解题时更简便。
〖例〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
x2y2x2y2思路解析：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0)→根据题意
abba求a、b→得方程。
x2y2x2y2解答：设所求的椭圆方程为2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0)，
abba由已知条件得??2a?5?32,a?4,c?2,b?12 222?(2c)?5?3x2y2y2x2??1或??1 故所求方程为
16121612（二）椭圆的几何性质 ※相关链接※
x2y21．椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆2?2?1，有
ab等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求
这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。
3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与a、b的关系：
※例题解析※
x2y2〖例〗已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点
ab?????????M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。
（1） 求椭圆的离心率e；
（2） 设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围。
?????????思路解析：由AB与OM是共线向量可知AB∥OM，从而可得关于a、b、c的等量关系，
从而求得离心率e；若求∠F1QF2的取值范围，即需求cos∠F1QF2的范围，用余弦定理即可。
b2b2,?kOM??. 解答：（1）设F1（-c,0）,则xM??c,yM?aackAB???????b??????,OM与AB是共线向量，abb2??,?b?c故e?aca22
（2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=?，∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c，
r12?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c2a2cos?????12r1r22r1r2r1ra2??1?0,r1?r22()2当且仅当r1?r2时，cos??0,???[0,].2注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率e时，除已知等式
外，还需一个关于a、b、c的等式，即可求得e。
（三）直线与椭圆的位置关系 ※相关链接※
1．直线与椭圆位置关系的判定
?x2y2把椭圆方程2?2?1(a?b?0)与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如
ab的形式，对此一元二次方程有：
（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点； （2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点； （3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。
2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则
注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。
※例题解析※
〖例1〗中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y?3x?2所得弦的中点横坐标为
1，求椭圆的方程 2思路解析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理
22及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，?a?b?50，
最后解关于a、b的方程组即可
x2y222解答：设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，由F（得?a?b?50 10，50）
ab把
直
线
方
程
y?3x?2代入椭圆方程整理得：
(a2?9b2)x2?12b2x?b2(4?a2)?0。
设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由根与系数的关系得：
12b21x1?x2?2，又AB的中点横坐标为， 22a?9b?a2?3b2，与方程a2?b2?50联立可解出a2?75,b2?25
x2y2??1。 故所求椭圆的方程为：
7525x2??y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两〖例2〗已知椭圆：
69点，求弦AB的长
解答：a=3,b=1,c=22，则F（-22，0）。
x2?y2?1联立消去y得：l:y?(x?22)与4x2?122x?15?0。由题意知： 931设A（x1,y1)、B（x2,y2)，则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，
x1?x2??32，x1?x2?点，
x?x23215，xM?1又因为A、B、F都是直线l上的??422所以|AB|=1??|x1?x2|?1323?(x1?x2)2?4x1x2?2318?15?2
（四）与椭圆有关的综合问题 〖例〗如图，
已知椭圆C：经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)
有直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点。
（1）是否存在k，使对任意m>0,总有
成立？若存在，求出所有k
的值；
（2）若，求实数k的取值范围。
思路解析：第（1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由M点为ON中点，用坐标表示相关量可求。
第（2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。
可知
解答：椭圆C：AB的方程为：y=k(x-m).
，直线
由消去y得
设
，则
则
若存在k,使∴
总成立，M为线段AB的中点，∴M为ON的中点，
∴
即N点的坐标为。
由N点在椭圆上，则