故考察区域边界曲线（如图）的方程为
C1:(x?4)2?y2?3636(x?2)和C2:(x?4)2?y2?(x?2) 55
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
y?3x?14,y?6
x2y2设直线l平行于直线l1,其方程为y?3x?m.代入椭圆方程??1,消去y, 204得16x2?103mx?5(m2?4)?0由??100?3m2?4?16?5(m2?4)?0,解得m?8或m??8.从图中可以看出,当m?8时,直线l与C2的公共点到直线l1的距离最近,此时直线l的方程为y?3x?8,l与l1之间的距离为d?|14?8|?31?365,5
又直线l2到C1和C2的最短距离d??6?而d??3,所以考察区域边界到冰川边界的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需时间为n年,则由题设及等比数列求和公式,得0.2(2n?1)?3,所以n?4.2?1冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。
【考点精题精练】
一、选择题
1．（2010届·山东诸城高三12月质检）7.设曲线y?ax2在点（1,a）处的切线与直线
2x?y?6?0平行,则a?( A)
A．1
B．
1 2C．?1 2D．?1
2．（2010届·湖南省箴言中学高三一模（文））7. 设曲线y?ax2在点(1,a)处的切线与
直线2x?y?6?0平行，则a? ( A ) A、1 B、
11 C、? D、?1 22mn3．（2010届·山东诸城高三12月质检）7． 若2?4?22，则点(m,A．直线x?y?1的左下方 C．直线x?2y?1的左下方
B．直线x?y?1的右上方 D．直线x?2y?1的右上方
n)必在（ C）
x2y2?2?12b4． （广东汕头金平区·2010届高三上联考（文））双曲线a（a＞0,b＞0）的两
个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( B ) A.（0，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
5．（北京西城区·2010届高三期末（理））若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是
（ D ）
x2y2??1 A．
1615y2?1 C．x?152
x2y2??1 B．
2524D．x2?y2?1
22ax?by?ab和ax?by?c?0(其中ab?0,a?b,c?0，它们所表示的曲6．已知方程
线可能是（ B ）
7．已知椭圆C中，原点O为中心，F为左焦点，A为左顶点，椭圆的左准线交x轴于点B，
|PF|P、Q为椭圆上两动点，PD垂直左准线于点D，QF?x轴，则椭圆的离心率为① |PD|；|QF||AO||AF||FO|② |BF|；③ |BO|；④ |BA|；⑤ |AO|.上述离心率正确的个数有（D）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8．北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，
内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内
x2y2?2?1(a?b?0)2b层椭圆方程为a，则外层椭圆方程可设为
x2y29??1?22(ma)(mb)(a?b?0,m?1).若AC与BD的斜率之积为16，则椭圆的离心率为(A) 7263A.4 B.2 C.4 D.4
x2y2??1222639．双曲线的渐近线与圆(x?3)?y?r(r?0)相切，则r等于（A）
A.3 B.2 C. 3 D. 6
x2y??1310．以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( D )
222222222A.(x?2)?y?4 B.x?(y?2)?2 C.(x?2)?y?2 D.x?(y?2)?4
11． （广东省深圳高级中学·2010届高三上二模（文）） 10、.若双曲线的顶点为椭圆
y2x??12长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程
2是（ D ）
22222222x?y?2y?x?2 x?y?1y?x?1A. B. C. D.
12．如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为距分别为
a1和a2，半焦
c1和c2.则下列结论不正确的是 （C）
A.
a1?c1?a2?c2 B. a1?c1?a2?c2 C. a1c2?a2c1 D.
a1c2?a2c1
二、填空题
13．（2010届·辽宁锦州高三期末考试（理））（16）△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－
mm12,0),C(2,0)（其中m＞0，且m为常数），且满足条件sinC－sinB=2sinA,则动点A的
16x216y2m??1(x?)224m3m轨迹方程为____.
14．（2010届·辽宁锦州高三期末考试（理））12.曲线y?x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为 -16 . 215．已知两点A(1,0)，B(b,0)，若抛物线y?4x上存在点C使?ABC为等边三角形，则b?
5或?1 . 322x?y?2的右焦点16．（广东省深圳高级中学·2010届高三上二模（文））14、过双曲线
F作倾斜角为30的直线，交双曲线于P,Q两点，则|PQ｜的值为______42____.
三、解答题
17．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
0x2y2?2?12F,F12ab已知点是双曲线M：的左右焦点，其渐近线为y??3x，且右
顶点到左焦点的距离为3． (1)求双曲线M的方程；
?F(2) 过2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n?(k,?1),(k?0)，且
????????OA?OB?0，求k的值；
?????????????OA?OB?mF2C，
(3)在(2)的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足
求m的值及△ABC的面积
2S?ABC．
y2x??13解: (1) 由题意得．??????????????????????4分
(2) 直线
l的方程为
y?k(x?2)，由
?2y2?1?x?3??y?k(x?2)?得
(3?k2)x2?4k2x?(4k2?3)?0（*）
?4k2x?x????123?k2?2?x?x??4k?3122?3?k?所以????????????????????????6分
????????x?x?y1?y2?0
由OA?OB?0得12222(1?k)x?x?2k(x?x)?4k?0 1212即
k??代入化简，并解得
35（舍去负值）?????????????????9分