9. 求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式P2(x)，并求出平方误差 （8分）
解：
令P2(x)?a0?a1x?a2x2 2分
取m=1, n=x, k=x,计算得： (m,m)=1dx=0 (m,n)=
?112?1?xdx=1 (m,k)= ?x?1?1112dx=0
(n,k)= (n,y)=
??1x3dx=0.5 (k,k)=
?1?1x4dx=0 (m,y)=
?xdx=1
?11?1?1x2dx=0 (k,y)=
?1?1x3dx=0.5
?a1?1? 得方程组：?a0?0.5a2?0 3分
?0.5a?0.51? 解之得a0?c,a1?1,a2??2c （c为任意实数，且不为零）
即二次最佳平方逼近多项式P2(x)?c?x?2cx2 1分 平方误差：
10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算??小数点后三位） （8分）
?22?f?p222?f22??ai(?i,y)?i?022 2分 34?01?x2dx的近似值（保留
1
解：
用复合梯形公式： T8?11131537{f(0)?2[f()?f()?f()?f()?f()?f()?f()]?f(1)} 168482848 =3.139 4分 用复合Simpson公式： S4?11357113{f(0)?4[f()?f()?f()?f()]?2[f()?f()?f()]?f(1)} 248888424 =3.142 4分
?11. 计算积分I??201??5sinxdx，若用复合Simpson公式要使误差不超过?10，问区间[0,]22要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间[0,分）
?2]应分为多少等分? （10
解： ①由Simpson公式余项及f(x)?sinx,f(4)(x)?sinx得
????4141Rn(f)?2()4maxf(4)(x)?()()??10?5 2分
1804n0?x??3604n22即n4?665,n?5.08，取n=6 2分
?1即区间[0,]分为12等分可使误差不超过?10?5 1分
22②对梯形公式同样maxf''(x)?1，由余项公式得
0?x??2??1Rn(f)?2()??10?5 2分
122n2即n?254.2,取n?255 2分
?1即区间[0,]分为510等分可使误差不超过?10?5 1分
22
?y'?y?y2sinx?012. 用改进Euler格式求解初值问题：?要求取步长h为0.1，计算y（1.1）
?y(1)?1的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）
解：
改进Euler格式为：
???yn?1?yn?hf(xn,yn) 2分 ??h?yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]2?于是有
??2?yn?1?yn?0.1(yn?ynsinxn) （n=0,1,2??） 2分 ????y?y?0.05(y?y2sinx?y?y2sinx)nnnnn?1n?1n?1?n?1由y(1)=y0=1，计算得
???y1?1?0.1(1?12sin1)?0.816 2分 ???y(1.1)?y1?0.838即y(1.1)的近似值为0.838
13. 设f(x)?C[a,b],x0?(a,b),定义：f[x0,x0]?limf[x,x0],证明：f[x0,x0]?f[x0]x?x0''（4分）
证明：
f'[x0]?limx?x0f[x]?f[x0]?limf[x,x0]?f[x0,x0]x?x0x?x0 4分
故可证出f[x0,x0]?f'[x0]
14. 证明：设A?Rn?n，?为任意矩阵范数，则?(A)?A （6分）
证明：
设?为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=?x 1分
且?(A)? 而
?，若?是实数，则x也是实数，得?x?Ax 1分
?x???x Ax?A?x,故??x?A?x 2分
由于x?0，两边除以x得到??A 1分
故?(A)?A 1分 当?是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立 1、（本题5分）试确定22作为?的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 7解 因为 227=3.142857?=0.3142857??10?1
?=3.141592? 所以
??227?0.001264??0.005?112?10?2?2?101?3 这里，m?0,m?n?1??2,n?3 由有效数字的定义可知227作为?的近似值具有3位有效数字。 而相对误差限
??22?7r???0.001264???0.0004138?0.0005?12?10?3 ?2?11??x1??4?2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???123?????x???2???5?；
?131????x3????6????2?11??1??解 设??123??A?LDLT??1??d1??1l21???l21???d2???131????l31l321??????1d3???由矩阵乘法得：
d?2,d52712??2,d3?5 l??12,l17 2131?2,l32??5由Ly?b,LTx?D?1y解得 y?(4,7,635)T,x?(109,79,239)T （2分） （1分） （2分） l31?l?32? 1?? （3分）
（3分） ?10x1?x3?5x4??7?x?8x?3x?11?1233、（本题6分）给定线性方程组?
3x?2x?8x?x?23234?1??x1?2x2?2x3?7x4?171）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；
2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib迭代格式为
?x1(k?1)?(k?1)?x2 ?(k?1)?x3(k?1)??x4?x1(k?1)?(k?1)?x2?(k?1)?x3(k?1)?x?4(k)(k)?(?7?x3?5x4)10(k)?(11?x1(k)?3x3)8?(23?3x?(17?x(k)1(k)1?2x?2x(k)2(k)2?x)(?8)?2x)7(k)4(k)3 （2分）
Gauss-Seidel迭代格式为
(k)(k)?(?7?x3?5x4)10(k)?(11?x1(k?1)?3x3)8?(23?3x?(17?x(k?1)1(k?1)1?2x?2x(k?1)2(k?1)2?x)(?8)?2x)7(k)4(k?1)3 （2分）
2）由于所给线性方程组的系数矩阵
1?5??100???18?30? A???32?81???1?227??? 是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。（2分）
4、（本题6分）已知方程
x3?x2?0.8?0
在x0?1.5附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式：
x?30.8?x2,x?构造如下两个迭代格式：
1）xk?1?30.8?xk,k?0,1,2,? 2）xk?1?2x3?0.8
xk?0.8,k?0,1,2,?
3判断这两个迭代格式是否收敛；
解 1）记?(x)?30.8?x2，则?'(x)?2x， 2233(0.8?x)