8. 求积公式
?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]是否是插值型的__________，其代数精度为
2___________。
二、（12分）(1)设A?LU，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知
0??2?10???12?10??，求，U。 A??L0?12?1????00?12???(2)设A为6?6矩阵，将A进行三角分解：A?LU，L为单位下三角阵，U为上三角
阵，试写出L中的元素l65和U中的元素u56的计算公式。
三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式
H(x)，满足
H(0)?f(0)?0,H(1)?f(1)?1,H(2)?f(2)?1,H?(1)?f?(1)?3 ，
并写出插值余项。 （12分）线性方程组
??x1??x2?b1
2?x?2x?b122?12（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 （2） 设??2，给定松弛因子??敛性。
五、（7分）改写方程2?x?4?0为x?ln(4?x)/ln2的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？
六、（7分）证明解方程(x?a)?0求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。 七、（12分）已知x0?32x，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收
113,x1?,x2?. 424（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式具有的代数精度； （3） 用所求公式计算
?10x2dx。
八、（8分）若f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn),xi互异，求f[x0,x1,?,xp]的值，这里
p?n?1.
数值分析模拟试卷3
一、填空题（每空3分，共30分）
1． 设f(x)?4x8?3x4?2x2?1，则差商f[20,21,?,28]? ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组Ax?b时，若松弛因子?满足|??1|?1，则迭代法 ；
3．设f(x*)?0,f?(x*)?0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满足 ；
4. 设f(x)?(x?2)(x3?3x2?3x?1),用Newton迭代法求x1??2具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求x2?1具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知A???*?7?2??? ，则?(A)?__________,Cond?(A)?______ ?31??6. 若x??1，改变计算式lgx?lgx2?1=___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点xi,xi3(i?0,1,2,3)的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求
???21x2dx= 。
?221???A?111二、（14分）已知方阵??，
?321???(1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；
(2) 给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组Ax?b，其中b?(3.5,2,4)T。
三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式
H(x)，满足
H(0)?f(0)?0,H(1)?f(1)??1,H?(1)?f?(1)?10,H??(1)?f??(1)?40 ，
并写出插值余项。
四、（10分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn?1?cosxn均收敛于方程x?cosx的根，
且具有线性收敛速度。
五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数f(x)?4x3?1，求其在??Span{1,x,x2}中关于权
函数
?(x)?1的最佳平方逼近多项式。（可用数据：
321x?） 22切
比
雪
夫
(Chebyshev)
正
交
多
项
式
p0(x)?1,p1(x)?x,p2(x)?六、(12
分
)(1)
试
导
出
Tn(x)?cos(narccosx)(n?0,1,2,?,x?[?1,1])的三项递推关系式：
T0(x)?1,??T1(x)?x,? ?????Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x)(n?1,2,?)（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I?得到积分的精确值？并计算它。
?2x2?1x(2?x)0dx，问当节点数n取何值时，能
h?y?y?(K1?K3)n?1n?2?K1?f(xn,yn)七、（10分）验证对?t,?为2阶格式. ?K2?f(xn?th,yn?thK1)??K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1)
参考答案1 一、1．?(a)?6，cond1(A)=6.
2．f[xn,xn?1,xn?2]=3，f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]=0. 3．b=－2，c=3.
?163?,k?024．?2；q2(x)?x?x?.
510??0,k?05．a?(?12,12);lii?0(i?1,2,3)
二、(1) H(x)??14326322331x?x?x? 22545045025519?21919(2) R(x)??(x?)(x?1)2(x?),??(,).
4!164444三、（1）L?2?;（2）x?3.347;（3）线性收敛. 3四、A?C?101612;求积公式具有5次代数精度，是Gauss型的. ,B?,???99574133；截断误差主项为hy???(xn). 48五、?＝，?0＝，?1＝－12六、（1）?(BJ)?0.6,?(BGS)?0.6?1,因此两种迭代法均收敛.
（2）当
参考答案2 一、1．2
2．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,
11?0.6?a?0时，该迭代公式收敛.
f(xn)(n?0,1,?) ?f(xn)25 71324?(k?1)15(k)??x2?x11336. ? ,1(k?1)?x2??x1(k?1)1220?5．(,1),(,) 7. x0??8. 是, 1
122,x1?32; 1 3?2003??10?24二、(1) L???0?13??00?1??(2)
1?0?1???20???,U??01?0??00?5???4???000?2310?0??0?? 3??4?1??l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55
u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)f(4)(?)x(x?1)2(x?2) 三、 H(x)?x?2x(x?1)(x?2),R(x)?4!(k)?x1(k?1)?b1??x2?四、(1) ?(k?1)b2(k?1), ??1 时收敛
x???x21?2??(k?1)b11(k)(k)??x1?x2?x122 (2) ?, 收敛 b21(k)(k?1)(k?1)?x2??x2?x142?五、收敛 七、（1）
211123f()?f()?f() 343234（2）2 (3)
1 3八、p?n时为0，p?n?1时为1
参考答案3 一、1．4
2．发散
3．f??(x)?0
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