四、（8分）已知n+1个数据点(xi,yi)(i?0,1,2,?,n)，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
华南农业大学期末考试答案及评分标准（A卷）
2007学年第二学期 考试科目： 数值分析
一、判断题：（每小题2分，共10分）
1. × 2. √ 3. × 4. × 5. ×
二、填空题：（每空2分，共36分）
50.5?10?2 ，0.5 1. 0.00或
2. 5,26,15 3. 0,2 4. 1,0,1,3 5.
?(A)?A
6. ?(M)?1
?10??,?4?2?,1,? 7. ?1???1??02??2?)?(1?xn?y或8. yn?1?yn?(xn?ynn)yn?1?1.5xn?2.5yn?0.5,
三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：f(x)?x?3x?1，由于
a) b)
312n?0,1,2,?
f(1)??3?0,f(2)?1?0,
f?(x)?3x2?3?0(x?(1,2)),
c)
f??(x)?6x?0(x?(1,2)), 即f??(x)在(1,2)上不变号，
d) 对于初值x0?2，满足f(2)f??(2)?0, 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
???????????????4分
（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为
xn?13f(xn)xn?3xn?1 ?xn??xn?2?f(xn)3xn?3???????????????2分
取初值x0?2进行迭代，得
x1?1.8889,
???????????????1分
x2?1.8795.
???????????????1分
2. 解：（1）Jacobi迭代公式为
(k?1)(k)(k)?x1??0.4x2?0.4x3?1?(k?1)(k)(k)??0.4x1?0.8x3?2 ???????????2分 ?x2?x(k?1)??0.4x(k)?0.8x(k)?312?3Gauss-Seidel迭代公式为
(k?1)(k)(k)?x1??0.4x2?0.4x3?1?(k?1)(k?1)(k)??0.4x1?0.8x3?2???????????2分 ?x2?x(k?1)??0.4x(k?1)?0.8x(k?1)?312?3?（2）Jacobi
迭代矩阵的特征方程为0.40.40.4?0.8?0，展开得
0.40.8??3?0.96??0.256?0，即 (??0.8)(??0.4?0.505)(??0.4?0.505)?0，
从而得 ?1?-1.0928,?2?0.8000,?3?0.2928，（或由单调性易判断必有一个大于1的
特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi迭代法发散。
???????????2分
?Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.4?0.40.40.8?0，展开得
?0.8?0.4???(?2?0.832??0.128)?0，解得?1?0,?2?0.628,?3?0.204,迭代矩阵的谱半径小
于1，所以Gauss-Seidel迭代法收敛。
???????????2分
3. 解：（1）建立差分表 x ?10 12y ?y ?2y ?3y 14 303?1 ?3?4 ?22 ???????????????2分 （2）建立牛顿后插公式为
P2(x)?0?32(x?2)?(x?2)(x?1)1!2! ??3(x?2)?(x?2)(x?1)??x2?4则所求近似值为
P2(1.1)?2.79
???????????????3分
（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为
P2(1)(x)?3?14(x?1)?(x?1)x1!2! ?3?(x?1)?2x(x?1)??2x2?x?4则 P2(1)(1.1)?2.68 根据事后误差估计法
R2(x)?故截断误差
x?2?P2(0.9)?P2(1)(0.9)??? x?1R2(1.1)??0.9?(2.79?2.68)??0.0471 2.1 ???????????????3分
24. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x)?a0?a1x?a2x. 根据已知数据，得
?1?1M???1??1则
?10121??1?a??0?2?0????,A?a,Y??? ?1??5?1???a????2?4??0????????????2分
?426??8??,M?Y??4?
M?M??268???????6818???6?????????????1分
建立法方程组为
?426??a0??8??268??a???4????1??? ??6818????6???a2??????????????2分
解得
a0?3.5,a1?1.5,a2??1.5.
???????????1分
2从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)?3.5?1.5x?1.5x.
???????????1分
5. 解：设P2(x)为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：
x 143 33y 一阶差商 二阶差商 281 P2(3)P2(3)27 P2[3,3]P2[3,3]52P2[4,3,3] P2[3,3,3]???????????2分
因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2(x)是
f(x)的插值函数，故有