P2[4,3,3]?P2[3,3,3]?5 2???????????2分
而
P2[4,3,3]?因此得
P2[3,3]?75?，
3?42P2[3,3]?9， 2???????????1分
由于
f(k)(x)?k!Pn[??x,x,??x,??,x]，
??k?1从而得
f?(3)?P2[3,3]?9, 2f??(3)?2!P2[3,3,3]?5.
???????????2分
6. 解：前进欧拉公式：
后退欧拉公式：
22yn?1?yn?h?f(xn,yn)?yn?0.2xn?0.2yn????1分
22yn?1?yn?h?f(xn?1,yn?1)?yn?0.2xn?0.2y?1n?1 ??1分
预估时采用欧拉公式
*22yn?y?0.2x?0.2y?1nnn
???????????1分
校正时采用后退欧拉公式
yn?1?yn?0.2x2n?1?0.2?y2*n?1
????????????1分
由初值x0?0,y0?0,h?0.2知，节点分别为xi当x1?0.2i,(i?1,2,3,4,5)
?0.2,
*22y1?y0?0.2x0?0.2y0?0,
y1?y0?0.2x?0.2?y21*1?2?0.008，
???????????1分
当x2?0.4,
*y2?y1?0.2x12?0.2y12?0.0160,
y2?y1?0.2x?0.2?y22*2?2?0.0401.
???????????1分
当x3?0.6,
*22y3?y2?0.2x2?0.2y2?0.0724,
y3?y2?0.2x?0.2?y23*3?2?0.1131.
???????????1分
当x4?0.8,
*22y4?y3?0.2x3?0.2y3?0.1877,
2*y4?y3?0.2x4?0.2?y4??0.2481.
2???????????1分
当x5?1.0,
*22y5?y4?0.2x4?0.2y4?0.3884,
2*y5?y4?0.2x5?0.2?y5??0.4783.
2
四、（8分）
答：1、可以建立插值函数： （1）Newton基本差商公式
Pn(x)?f(x0)?(x?x0)f[x1,x0]?(x?x0)(x?x1)f[x2,x1,x0]???(x?x0)(x?x1)?(x?xn?1)f[xn,?,x1,x0]
???????????1分
（2）Lagrange插值多项式
Ln(x)?a0f(x0)?a1f(x1)???aif(xi)???anf(xn)
其中ai?(x?x0)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn),(i?0,1,?,n).
(xi?x0)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn)???????????1分
这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。
???????????2分
2、可以建立拟合函数：
Pm(x)?a0?a1x?a2x2???amxm
???????????1分
其中系数a0,a1,a2,?,an满足法方程组M?MA?M?Y,
?1?1M??????1?2m?x0?x0?a0??f(x0)??y0??a??f(x)??y?2m?x1x1?x11??,A??1?,Y????1? ????????????????????2m?af(x)xnxn?xn?n??m???yn??x0???????????1分
拟合函数的适用条件是：n比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。
???????????2分
数值分析模拟试卷1
一、填空（共30分，每空3分） 1 设A???2
设
?11???，则A的谱半径?(a)?______，A的条件数cond1(A)=________. ?51??f(x)?3x2?5,xk?kh,k?0,1,2,?，则
f[xn,xn?1,xn?2]＝________,
f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]＝________.
32??x?x,0?x?13 设S(x)??3，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则2??2x?bx?cx?1,1?x?2b=________,c=________.
4 设[qk(x)]?k?0是区间［0，1］上权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交多项式族，其中q0(x)?1，则
?xq(x)dx?________，q(x)?________.
0k21?10a???5 设A?01a，当a?________时，必有分解式????aa1??，其中L为下三角阵，当其
对角线元素Lii(i?1,2,3)满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设f(x)?x,x0?3219,x1?1,x2?, 44（1）试求f(x)在[,]上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足H(xi)?f(xi),i?0,1,2，
1944H?(x1)?f?(x1).
（2）写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式.
三、（14分）设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代公式为xn?1?4??（1） 证明?x0?R均有limxn?x（x为方程的根）；
x???2cosxn， 3（2） 取x0?4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.
四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
，列出各次迭代值；
有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
?y??f(x,y)五、（15分） 设有常微分方程的初值问题?，试用Taylor展开原理构造形如
y(x)?y0?0yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差
主项.
六、（15分） 已知方程组Ax＝b，其中A????12??1????， ,b?????0.31??2?（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性.
（2） 若有迭代公式x(k?1)?x(k)?a(Ax(k)?b)，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组组变化为
，其中
，其中
，A是对称的且非奇异.设A有误差为解的误差向量，试证明
，则原方程
.
其中?1和?2分别为A的按模最大和最小的特征值.
数值分析模拟试卷2
填空题（每空2分，共30分）
?1. 近似数x?0.231关于真值x?0.229有____________位有效数字；
2. 设
f(x)可微，求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是
_______________________________________________；
33. 对f(x)?x?x?1，差商f[0,1,2,3]?_________________；f[0,1,2,3,4]?________；
4. 已知
?32?x?(2,?3)?,A????21???? ，则
||Ax||??________________，
Cond1(A)?______________________ ；
5. 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为
_________，进行二步后根所在区间为_________________；
3?3x1?5x2?1?6. 求解线性方程组?1的高斯—赛德尔迭代格式为
x?4x?012??5_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径
?(G)?_______________；
7. 为使两点数值求积公式：
?1?1f(x)dx??0f(x0)??1f(x1)具有最高的代数精确度，其求
积节点应为x0?_____ , x1?_____,?0??1?__________.