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t?1又(t?1)2?(0,??)，所以当k?0时方程f2?1(x)?5k?2?5k有解.??18分
xx另解：令2?t?0，得kt?(2k?1)t?k?1?0，??8k?1，分三种情况讨论：
????0??2k?1?0??k?k?1?k?0①方程有两根?，解得k?1
k?1?0②方程有一正一负根，k，解得0?k?1
③方程有一正一零根，k?1 综上讨论，可知k?0.
卢湾区2009学年第一学期高三年级期末考试
数学参考答案及评分标准 2010.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分． 1．2 2．(?1,1) 3．12 4．0 5．150 6．8
1?2?7．a?b 8．x?y 9．8 10．?1 11．60 12．{0,1}
3313．?0,,1? 14．12
?2??1?二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．C 18．A
三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 因为A,B,C为△ABC的内角，且B??3，cosA?45，所以C?2?3?A，sinA?35，得
?2??43?3sinC?sin??A??． ?6分
10?3?bsinA6?， ?10分 在△ABC中，由正弦定理，得a?sinB5故△ABC的面积S?12absinC?12?65?3?43?310?36?9350． ?14分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
?4?a2（1）由f(x)?x?2ax?4?(x?a)?4?a，得m(a)???8?4a2221≤a?2,a≥2. ?6分
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（2）g(x)?(x?1)?1x?1?2，当x?[0,2]时，x?1?[1,3]，
又g(x)在区间[0,2]上单调递增（证明略），故g(x)??0,?． ?9分
3???4?由题设，得f(x2)min?g(x1)max263?1≤a?2,?a≥2,??，故?或44 ?12分 ?24?a?8?4a?,??33??解得1≤a?为所求的范围． ?14分
2221．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）设袋中有红球4k个，白球3k个，由题设
C4kC7k?413，解得k?2， ?4分 因此，袋中有红球8个，白球6个． ?6分 （2）（理）记A为“取球不超过3次便停止”；Bi（i?1,2,3）为“第i次取到红球”， 则Bi为“第i次取到白球”．
由题设A?B1?B1B2?B1B2B3，且B1、B1B2、B1B2B3为互不相容事件，B1、B1、B2、B2、B3为互相独立事件， ?10分
故P(A)?P(B1)?P(B1)P(B2)?P(B1)P(B2)P(B3)?614?814?613?814?713?612?1113．
?14分
3（文）从袋中14个球中取出3个球，其可能出现的取法有C14种，即所有的基本事 3件有C14个． ?8分
若把“取出球的总分不超过5分”的事件记作E，则E所包含的基本事件有
C6?C6C8?C6C8个， ?12分
32112因此，E出现的概率P(E)?C6?C6C8?C6C8C14332112?1113． ?14分
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）函数f(x)?tanx的图像的对称中心的坐标为?当k?2n（n?N*）时， ?k???k??tan??x??tan??x??tanx?tanx?0； ?2??2??k??,0?（k?N*）． ?2分 ?2?当k?2n?1（n?N*）时，
?k???k??tan??x??tan??x???cotx?cotx?0，得证． ?6分 ?2??2?x?mm?1?1?（2）由f(x)?，得f(x)的图像的对称中心的坐标为(1,1)．?9分 x?1x?1x?1?m1?x?mx?1?m?x?1?mf(x?1)?f(1?x)?????2，由结论①得，对实数
x?1?11?x?1x?xx?mm(m??1)，函数f(x)?的图像关于点(1,1)成中心对称． ?12分
x?1（3）由结论② F(x)?f?x????2?27??2??f?xx??t?x???为奇函数，?14分 ???3?33?3???学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com
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其中g(x)?x为奇函数，故h(x)?x?于是，由h(x)?h(?x)可得x?因此，
23?t?732323?t?x?773为偶函数（证明略），
?t?x?7?2?， ?16分 ?x???t??x?333??，解得t?53为所求． ?18分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
（1）由S10?30，S20?100，得10a1?45d?30，20a1?190d?100， 解得a1?故S30655
?210． ?4分
1，d?
2
， ?2分 （2）①Sm可知am1?m2?Sm1?Sm2?m1m2d． ?6分
?m2?am2?m1d，
Sm1?m2?Sm1?am1?1?am1?2???am1?m2 ?Sm1?(a1?m1d)?(a2?m1d)???(am2?m1d)?Sm1?Sm2?m1m2d． ?8分
②Snm?nSm?n(n?1)可知Sm?ma1?Snm?nma1??nSm?nm22m(m?1)． ?10分 md（或写成Snm?nSm?Cnmd，n≥2）d， d?nSm?nm(m?1)2nm2d?nm(nm?1)2d n(n?1)2md． ?12分
22222nm(nm?1)2d(nm?1?m?1)?nSm?1d(nm?m)?nSm??（3）(ⅰ)Sm?m2??q?Sm1m1?． ?16分 Sm2?1?qnm?,Sm?m?(ⅱ)Snm??1?q?nS?,?mq?1,q?1. ?17分
(ⅲ) Sm?m12???mn?Sm1?Sm2???Smn?[(m1m2?m1m3???m1mn)?(m2m3??
n（n≥2）． ?m2mn)???mn?1mn]d，（或写成S?(ⅳ)Smn?mi?i?1?Si?1mi?(?1≤i?j≤nm1mimj)d，（n≥2））． ?18分 ?q?Sm3m1?m21?m2???mn??Sm?q?Sm12?q???Smnm1?m2???mn?1，（n≥2）． ?18分
闵行区2009学年第一学期高三年级调研考试 数学试卷参考答案和评分标准 一、填空题（每题4分）
3?x?1?1. ；
2. 2； 3. 2；
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4.
???,?1?； 5.
x?y?5z; 6. 理a?b且a?c?；文b?c?；
33；文23； 9. ?2；
?17. 0.3A?0.4B?0.3C；8. 理
41arccos10. 理3；文2； 11. 444； 12. 理2；文?2；
1?23313. 理；文
3?2； 14 ?4.
二、选择题（每题4分） 15. A； 16. C； 17. B； 18. C 三、解答题（19题至23题）19.（本题满分14分）
(理科)取CD中点F，连AF，?E为PD中点，∴EF//PC，
∴?AEF（或其补角）的大小即为异面直线AE与PC所成的角的大小， (2分)
??6，且
?PA?底面ABCD，∴?PDA就是PD与底面ABCD所成角，即?PDAPA?AD,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：PD?2,
1522AD?3?ABAE?1AC?6,AF?PC?7,EF?72 (8分)
，于是72)?(7221?(cos?AEF?152)2??77在?AEF中，由余弦定理得：?AEF???arccos77，
arccos2?1? (12分)
∴
77． (14分)
x、y、z即异面直线AE与PC所成的角的大小为
另解： 以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
??6，且
?PA?底面ABCD，∴?PDA就是PD与底面ABCD所成角，即?PDAPA?AD,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：
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PD?2,AD?3?AB,A?0,0,0?,P?0,0,1?,C?∴
?31?3,30,E?0,,??22??? (4分)
??????31?????AE??0,,??PC?22???∴，????????AE?PCcos???????????AE?PC17??3,3,?1? (8分)
77∴， (12分)
arccos77． (14分)
即异面直线AE与PC所成的角的大小为
（文科）取BC中点E，连AE,DE，?D为PC中点，∴DE//PB， ∴?ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小. (2分)
?6，且
?PA?底面ABC，∴?PCA就是PC与底面ABC所成角，即?PCAPA?AB,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得： 62， (8分)
?PC?2,AC?AB?3,PB?2，于是AD?1,DE?1,AE?在?ADE中，由余弦定理得arccos1cos?ADE?AD2?DE2?AE21?1??62AD?DE4?12?1?14(12分)
14．(14分)
∴?ADE=4，即异面直线AD与PB所成的角的大小为
arccos???20.（本题满分14分）（1）?m?n.∴m?n?0，得3a?2bsinA?0 （2分）
由正弦定理，得a?2RsinA,b?2RsinB，代入得： （3分）
32， （ 5分）
3sinA?2sinBsinA?0,sinA?0，∴
B?2?sinB?B为钝角，所以角3. （7分）
2cosA?C2cosA?C2?3cos(C??（2）（理科）?cosA?cosC?)6
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