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数学金融学第七章多时段市场问题
第七章 多时段市场问题
本章的目的是在前两章单时段市场理论的基础上讨论多时段市场的有关问题.可以想象 在多时段市场的投资中,不同时段上的投资策略是可以不同的,也就是说,投资策略是随时间变化的.因此,动态特性是多时段市场问题区别于单时段市场问题的一个标志.所以,除了单时段市场情形中所出现的问题外,讨论多时段市场问题的要点是体现其动态特性问题,读者应该记住这一点.在学习本章时,如果读者有随机过程和控制理论的初步知识,则会感到轻松一些.
§7.1 多时段市场的一般描述
在这一节中,我们首先给出多时段市场一般的数学描述.
一、测度论中一些基本概念及相关定理
集合(样本空间), F为?的子
集全体,P为??,F?上的一个概率测度.又设Fi?i?0,1,2,?,k?为?的子集族,且
定义1.0 设有限个离散时刻0,1,2,?,k,设?为一个有限
??,F??F0?F1?F2???Fk?F, (1.1)
若对每个i?0,1,2,?,k子集族Fi.满足下述条件:
?A,B?Fi?A?B?Fi; (1.2) ??A?Fi???A?Fi.当(l.2)成立时,称Fi为一个域,称(1.1)为一个域流.集合Fi中的每个元素表示时刻i可能发生的一个事件.比如A???1,?2,?3?作为事件在时刻i发生,它表示在时刻i状态?1,?2,?3之一发生,因此, Fi称为时刻i的事件集.
现在,我们来略微仔细地看一下域流(1.1)的一些性质和意义.
m2定义1.0.1 对每个i?0,1,2,?,k,存在?的一个剖分F???A1,Ai,?,Ai??Fi,即 ii?Aij?Ail??,j?l,1?i,l?mi;?m ?ij??Ai??.?j?1 (1.3)
使得
A??Ai?F?i|Ai?A,?A?Fijji??, (1.4)
我们称上面的A1i,Ai2,?,Aim为Fi的生成元,称每个Aij为Fi中的基本事件,于是,F?i称为Fi的生成元集或基本事件集.
注1.0.2: 当?为一个有限集合时,对每一个Fi均存在?的一个剖分,该剖分包含在Fi内且满足(1.4).▲
(1.3)表明在任何时刻有且仅有一个Fi中的基本事件发生.从这个角度看,我们可以得知
?是由F惟一确定的.进一步,由(1.1)和(1.4),我们还可得 上述基本事件集Fii?Aij?F?i?1,j?1,2,?,mi;? ?jjjj?A??Ai?1?Fi?1|Ai?1?Ai,j?1,2,?,mi.??i?? (1.5)
上面(1.5)表明Fi?1的生成元集F?i?1是Fi生成元集F?i的加细,即F?i中的每个元素均是一些F?i?1中元素的并集.为了理解它们的意义,我们举一个例子.
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数学金融学第七章多时段市场问题
例1.1 考虑三个时刻: 0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻,前市收盘时刻(或中午)和当日全天收盘时刻，而时间区间[0,1]和[1,2]分别代表前市(上午)和后市(下午). 设样本空间,其中状态具有下述意义:
??1:某股票价格在[0,1]上涨1元，且在[1,2]再涨1元；???2:该股票价格在[0,1]上涨1元，但在[1,2]跌1元；???3:该股票价格在[0,1]下跌1元，但在[1,2]涨1元；??:该股票价格在[0,1]下跌1元，且在[1,2]再跌1元。?4
(l.6)
它们可以看作是时刻2 的基本事件.记
?F0???,??;???F1???,?,??1,?2?,??3,?4??; ???F2??的全体子集. (1.7)
则F0,F1,F2构成一个域流.易见,事件??1,?2?就是\该股票价格在[0,1]上涨1元\而事件
??3,?4?就是\该股票价格在[0, 1]下跌1元\它们是时刻1的基本事件.相应于(1.7)中Fi的生成
元集如下:
?F?0???,A1???;0???12 (1.8) ?F1??A1???1,?2?,A1???3,?4??;?234F?2??A1???1?,A2???2?,A2???3?,A2???4?,??2?可见,1 时刻的基本事件??1,?2? (即\不该股票价格在[0,1]上涨1元\是2时刻两个基本事件
??1?和??2?的并集.需要指出的是在任何时刻i实际发生的事件必定是某个基本事件.
对上面的例子,我们作如下考察.在时刻t=0来预测时刻t=2的状态,共有4 种可能:?1,?2,?3,?4.到了时刻t =1,假如事件??1,?2?已发生,则此时再预测时刻t=2的状态,只有两种可能了.所以,随着时间的推移,判断最终时刻事件发生的“确定性”增加了.
我们让Fi表示在时刻i人们能够获得的所有信息的全体。这个意思是人们可以在当前(时刻t =0)预测的所有在时刻t =i可能发生的基本事件.所以, Fi中包含了一系列互不相容的基本事件Aij,其概率P?Aij??0是已知的.关系式(1.1)恰好表明随时间推移,人们可获得的信息越来越多.
现在我们给定概率空间??,F,P?,并且给定一列时刻0,1,2,?和一个域流?Fi?i?0,每个Fi对应于时刻i的事件集,此时.我们称??,F,?Fi?i?0,P?为一个带域流的概率空间.下面的讨论都基于这个框架,不再重复说明.并且,为了方便起见,我们假定每个Fi的生成元集为
jm2jjA1?j?m,并且,(假如不然,我们可以去掉使得的 F?i??A1,A,?,APA?0PA?0?????iiiiiiii所有的结果将保持不变).
考虑一种债券.其价格是随着时间t 变化的,并且由于人们无法确定将来的利率,从而债券 价格一般而言还是随机的,这样,债券价格是?t,??的函数?t,???B?t,??.当对每个固定的
t,??B?t,??是一个随机变量时,我们称B???为一个随机过程.为了叙述方便起见,我们设
B?0,???1,???, (1.9)
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并且,由于债券是“无风险”的,故应假设B???关于时间t是单调上升的,即
B?i?1,???B?i,???1,i?0,???, (1.10)
令
r?i,???B?i?1,???B?i,??B?i,??,i?0,???, (1.11)
称r?i,??为债券在[i,i＋1]上的利率.由(1.9)和(1.11)可得
iB(i?1,?)?B(i,?)[1?r(i,?)]? (1.12)
r?i,??一般是依赖于?的,即它是随机的.这样考虑是有必要的,因为利率是不断变动的,而且,
j?0?[1?r(j,?)]一般来说人们无法精确地断言将来的利率.但是,对任何一个给定的时刻i,以它为起始时刻的任何一种期限的利率在那个时刻应当是已知的.也就是说,基于i 时刻的所有信息(即知道Fi中所有基本事件是否发生),r?i,??是被确定的(不再随机).这在数学上可以如下描述:.
定义1.1.1 称r?i,??是一个Fi-可测的随机变量,如果
????|r?i,???a??Fi,?a?R, (1.13)
称随机过程r???是?Fi?i?0-适应的,如果(1.13)对所有的i?0都成立.
注1.1.2: 设A?F,P?A??1,?,?均是关于F-可测的随机变量.若?????????,??A,则我们可认为???.
下面我们就假设债券的利率过程r???是?Fi?i?0-适应的。
???A1,A2,?,Am?.设?:??R,则?是命题1.2 假定Fi为?上的一个域,其生成元集为FiiiiFi-可测的充要条件是它在每个Aij上是常数.
?j?Aij,使得对某个a?R, 证明: ?:设?是Fi-可测的,假如存在?j,? (1.14)
则集合A?????|?????a??Fi,且具有下述性质:
A?Ai??(?\\A)?Ai??j?(?j)?a??(?j)?,
j (1.15)
若 A??A?F?i|Aik?A,Aik?Aijki???1.15??A?Ai??与A?Ai??矛盾;
kjjj若
A?Ai?Ai?F?i|Ai?A,Ai?Aijkk???Aji?A????A??Ai??j与
???A??Aij???矛盾.
则A不可能有表示式(1.4).因此,A?Fi,从而?不是Fi-可测的,矛盾. : 假如?每个Aij上是常数,则对任何a?R,集合
A?????|?????a???Aj?Nji,其中N??ja?aj?????,??Aij,1?j?mi?,
故A?Fi,从而,?是Fi-可测的.▲
利用上面命题,我们可知当?是Fi?1-可测时,它未必是Fi可测的,其直观意义是存在当时 刻到达i +1时才能知道而在此前并不知道的事件.从数学上讲,其原因是由于Fi?Fi?1,所以,
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可能存在生成元Aij?Fi?1,即Fi的生成元可能至少是两个Fi?1中的生成元之并.比如
Ai?Ai?1?Ai?1,k?li,此时,IjklAi?1k是Fi?1-可测的,但它不是Fi-可测的.另外,假如?是F0-可测的,
则?是常数.因为F?0????.
当Xi为随机过程时,X??X1,X2,?,Xn?称为一个向量值随机过程;X??X1,X2,?,Xn? 称为?Fi?i?0-适应的,如果每个Xi是Fi-可测的.由上面命题1.2,容易知道,我们有下面的推论.
推论1.3 向量值随机过程X??X1???,X2???,?,Xn????为?Fi?i?0-适应的,当且仅当对每个i,Xi在每个Aij上是一个常值向量.
在下面的讨论中,我们还需要所谓的条件数学期望的概念.现在先让我们比较直观地引人 这个概念.假定??,F,?Fi?i?0,P?为一个带域流的概率空间,假设每个域Fi的生成元集为
m2jF?i??A1,Ai,?,Ai?,并且P?Ai??0 1?j?mi.设?是一个随机变量,它可能仅仅是F-可测ii的(未必关于任何Fi-可测).在当前时刻t=0,人们对?的预期就是普通的数学期望E???.现在要问,在当前时刻t=0,怎么来预测?在将来某个时刻t =i 的数学期望?
二、条件数学期望
我们首先要说明,?在将来某个时刻t = i 的数学期望会依赖于时刻t = i 的状态.为了说明这一点,我们来看一下例1.1中的情形.假定在0到1和1到2 股票涨跌l 元的概率均为1/2,则每个事件?i发生的概率均为1/4.我们假定所考虑的股票目前价格为10元,而令?为股票在时刻2的价格,则在当前时刻t =0,?的期望为
假如当前时刻来预测1时刻?的期望,则应该按如下方式考虑:
(1) 如果事件??1,?2?发生(即在时刻1,股价涨到11元),则?的期望(它依赖于事件??1,?2? 故记它为E???|??1,?2???)将是
(2) 如果事件??3,?4?发生(即在时刻1,股价跌到9 元),则?的期望(它依赖于事??3,?4?故记它为E???|??3,?4???)将是
E[?|{?3,?4}]?12(10?8)?（9元）E[?|{?1,?2}]?12(12?10)?11（元）E??14(12?10?10?8)?10(元)所以,如果我们定义随机变量?:??R如下:
,
则由命题1.2,?是F1可测的,并且它恰好是当前时刻预测将来时刻t=1时?的期望.我们注意 到,?的确定已经用足了时刻的所有信息,即已知F1中的事件是否发生.因此,我们把?称为? 关于F1的条件数学期望,记作E??|F1?.由于事件??1,?2?和事件??3,?4?发生的概率均为1/2, 因此,
E??E??|F1????E??
?(?1)??(?2)?11?(?3)??(?4)?9???11?9??10?E???
21上述关系式并非偶然,它表明条件数学期望和数学期望之间的相容性.
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对于一般情形,我们引人下述定义.
定义1.4 对于给定的?,我们称随机变量?i为?关于的条件数学期望,如果?i是Fi-可测的,并且对任何的A?Fi均有
??(?)P(?)?????A??Ai(?)P(?) (1.16)
此时,我们记?i=E??|Fi?.
很容易看到上面的例子中的?就满足(1.16),建议读者自行验证一下,由此获得一些感性认 识.需要提请读者注意的是,条件数学期望是依赖于概率空间上的域流和概率测度的.下面的结 果给出了条件数学期望的具体计算公式.
命题1.5 假定??,F,?Fi?i?0,P?为一个带域流的概率空间,假设每个域Fi的生成元集为
m2jF?i??A1,Ai,?,Ai?,并且P?Ai??0,1?j?mi,设?是一个随机变量,则有 ii??1E??|Fi????????P????IAj??j?P?A???Aj?ij?1ii??mi?1??IAj??PAjE?i?j?1??i?mi??? (1.17) ???证明: 由于?i=E??|Fi?是Fi-可测的,故由命题1.2知.它在每个Aij?F?i上为常数,故我们可设
mi?i?j (l.18)
其中?i为待定常数.
j?1j??Ai??jiIAji??i???P?????iP?Aijj???????P?????j??Aiji?1P?Aji??????P???
??Aij然后,由关系式(1.16)(对A?Aij)可得
E??|Fi???i?mi??j?1jiIAji??1???????P????IAj??j??ijPAj?1??i???Ai?mi?1??IAj??PAjE?i?j?1??i?mi???.▲由 ???注1.5.1: 由注1.1.2及(1.17)证明过程说明了,E??|Fi?存在且唯一.
从(1.17),我们不难看出,如果?是Fi-可测的,则E??|Fi?=?.事实上,我们还可以证明下述 更一般的结果.
命题1.6 设?,?为两个随机变量.
(1) 若?是Fi-可测的, 则E???|Fi???E??|Fi?(注意注1.1.2). (1.20) (2) E?a??b?|Fi??aE??|Fi??bE??|Fi?
(3) E??E??|Fi????E???,E??|F0??E???,F0???,??
m2证明: (1) 设域Fi的生成元集为F?i??A1,Ai,?,Ai? (注意,注:1.0.2). ii对???,有??Aij,由?是Fi-可测的及命题1.2知,??????ij,故,由命题1.5知
E???|Fi?????1P?Aji?j??Ai?????P?????ij1P?Aji?j??Ai?P??????E??|Fi????
(2) 由条件数学期望定义易知(2)、(3)的结论成立.▲ 有了条件数学期望后,我们再引人一个重要的概念——鞅.
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