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数学金融学第七章多时段市场问题
其中,1??1,1,?,1??Rl,S?i,Aij?1??Rl为(比较(1.26))
?V?i,Aji?1?Tji?1j?ni?1由(3.3)给出.这样,投资策略Z???在[i-1,i ]上的增益
ji?1,Z??V?i,A ??B?j,Z??V?i?1,A?jji,Ai?1?zi,A1?S??0?i??1ji?1?,Z?1
i,i?A?1z?j, i,i?A?1j (3.11)
对于相应的贴现过程,我们有(注意(1.28))
S??i,A??ji?1?S?i,Ai?1?B?i,Ai?1?j?S1?i,Aij?1?S2?i,Aij?1?Sn?i,Aij?1???, (3.12) ??,,,j?B?i,Aj?B?i,Aj?B?i,Ai?1??i?1i?1??jjT?S?i,A?ji?1ji?1S?i,Ai?1??S?i?1,Ai?1???T?jj, ?S?i,Ai?1??1S?i?1,Ai?1???1jjB?i,Ai?1?B?i?1,Ai?1?,Z??V?i?1,Ai?1,ZjV??i?1,A??B?i?1,Ai?1?jj?z0?i,Ai?1??Sj??i?1,A?z?i,A??R, (3.13)
ji?1ji?1T V因此,
?V?i,Aji?1,Z??V?i,Ai?1,ZB?i,Ai?1?j?j??z0?i,Aji?1??1?S??i,A?z?i,A??Rji?1ji?1?li?1j,
???V?i,Ai?1,z??j?i,Ai?1,Z??Vjj??i,Ai?1,Z??Vj?ji?1,A,Z1?? i?1??S?i,Ai?1?z?i,Ai?1?,
(3.14)
值得注意的是?V??i,Aij?1,z?仅仅依赖于z???.而不依赖于z0???.
二、多时段市场的无套利和等价鞅测度
1. 多时段市场的无套利
下面的讨论都基于上述的市场模型,我们引人下述概念.
定义3.1 设0?i?i?,市场在?i,i??上存在套利,如果存在?i,i??上的一个自融资(见(1.24)) 投资策略Z???使得
V?i,?,Z??0,V??i?,Z?,??0?,??Zi??,??E,?V??, 0 (3.15)
此时,Z???称为?i,i??上的一个套利策略。当市场在?i,i??上不存在套利时,我们称市场在?i,i??上无套利.
值得注意的是,只有在自融资策略的范畴中谈论套利策略才有意义.对于一个多时段市场,我们可以问一个非常自然的问题:一个给定时间区间上市场的套利存在性与该区间的子区间上市场套利的存在性之间有什么关系?下面的命题给出了答案,这是多时段市场特有的结果。
命题3.2 假定市场在?i,i??上有套利,则在任何包含?i,i??的时间区上该市场有套利.
证明: 设市场在?i,i??上有套利,Z???为一个套利策略(定义于?i,i??).假定?j,j????i,i??,我 们定义?j,j??上的策略如下:
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数学金融学第七章多时段市场问题
??0,0?, t?i;???t???Z?t?, i?t?i?;, Z???V?i?,?,Z?i???,0,t?i?.??????在?j,j??上是自融资的,并且,注意到B???关于t是单调上升的,我们有 易见,Z (3.16)
??V???V?i,?,Z??0, ?j,?,Z???V?i?,?,Z?B?j?,???0,???, (3.17) V?j?,?,Z????E?V?i?,Z?B?j????E?V?i?,Z?B?i????0 E?V?j?,Z??????????是一个?j,j??上的套利策略.▲ 因此,Z反过来的结论叙述起来有点繁琐.从前面的讨论,我们看到,对于固定的i?1,考虑每个
Ai?1(1?j?mi?1),它的后续事件全体为Aj??A?|1?l?l? ?????lji?1ji?1ji?1F?i.易见,
Ti?1?Ai?1;Aj?ljl?A?,1?l?l?, (3.18 )
ji?1ji?1lji?1ji?1j构成一个以Aij?1为起始点的一个树叉分枝.对每个1?l?li?,我们定义 1Pi?1A??A???P?A?A??/P?A?, (3.19)
ji?1为从节点Aij?1到节点Al?Aij?1?的概率.这样就得到了与第5章中完全一样的一个单时段市场:
?Tji?1;Pi?1A??A??,S?i?1,A?,S?i,A?A??,1?l?l?, (3.20)
lji?1ji?1lji?1ji?1它称为原来多时段市场的一个单时段子市场.现在我们来叙述和证明命题3.2 的逆命题了.
命题3.3 假如多时段市场的每个单时段子市场均无套利,那么这个多时段市场必无套利. 证明: 反证法.假如在[0,k]上多时段市场有套,则存在套利策略Z???使得
V?0,Z??0,V?k,?,Z??0,????,
E??V?k,Z????0.
(3.21)
任取一个Akj?1?F?k?1,考虑其相应的单时段子市场
?Tjk?1;Pi?1A??A??,S?k?1,A?,S?k,A?A??,1?l?l?, (3.22)
ljk?1jk?1ljk?1jk?1我们分两种情形:
情形1. 如果
V?k,?,Z??0,??Al?Akj?1?, (3.23)
则 V?k,?,Z??V?k,Al?Akj?1?,Z??0,
则由单时段子市场(3.22)的无套利性可知
jjV?k?1,?,Z??V?k?1,Ak?1,Z??0,???Ak?1. (3.24)
情形2. 如果
V?k,?,Z??0,??Al?Akj?1?, (3.25)
lj,?AZ,?? 0则 V?k,?,Z??V?kAk?1?则由单时段子市场(3. 22)的无套利性可知
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数学金融学第七章多时段市场问题
jV?k?1,?,Z??V?k?1,Ak?1,Z??0,???Ak?1
j (3.26)
由(3.21)可知,至少存在一个j使得情形2出现,因此综合(3.24)和(3.26)可得:
V?0,Z??0,V?k?1,?,Z??0,????,E??V?k?1,Z????0, (3.27) 再利用归纳法,最终可以得到V?0,Z??0,与(3.21)矛盾.▲ 由第5 章的结果，我们知道每个单时段子市场无套利当且仅当它有一个风险中性概率测 度.现在,我们要据此来构造整个时间区间上的一个“风险中性概率测度”.任取一个Aij?1?F?i?1以及它的后续事件全体?Al?Aij?1?|l?1??F?i,假定由它们构成的单时段市场是无套利的,则存在一个风险中性概率测度,定义于事件族?Al?Aij?1?|l?1?.显然,它是依赖于Aij?1的,所以,我们将它记作Q?i,Aij?1,??, 作如下等同：
Q?i,Aji?1T,???Qi,AT??ji?1,A1?A??,?,Q?i,Aji?1ji?1,Ali?1j?A???ji?1?Rli?1 j, (3.28)
由定义,下述关系式成立:
Q?i,Aji?1,???Tj1?1,Q?i,Ai?1,???S??i,A??0, (3.29)
ji?1上式也可写成:A?F?i?1
S?i,A?A???S?i?1,A?1??0 (3.30) ?Q?i,A,A?A???1,?Q?i,A,A?A?????ll?l?l?1l?1?,存在惟一的生成元序列: 下面,我们定义?上的概率测度如下:对任何A?Fk1??A0?A11?A22??Akk??1?Akk?A1jjjj, (3.31)
引入映照?,它将任何A?=Aii??F?i?0?i?k?映成A在时该i?1的前期事件(惟一),从而(?0j为恒等映照,即?0?A??A).即
?A=Aji=?0Aji??0?A?;ii??Aji?1??Aji??A;??i?i?1????;? (3.32) ?ji?tjijit(?(?(?(Ai))??(?(?(?(A));?Ai?t??Ai?????????????tt????;?1i??A0???A???.??????并且,
?AAii?????Aljjii,?Ai?F?i,0?i?k,1?l?li, (3.33)
jj上面(3.33)的意思是,任何F?i中的事件Aij,其后续事件的前期事件是该事件Aij本身,这是显然的.现在对对???????1,?,?m?,?A?F?k,有A????,则定义(比较(2.28 )),
kkQ?????Q?A???i?1Q?i,?k?1?i?A?,?k?i??A?????k?i??i?1kji?1jijk??, Qi,Ai?,A,A?A?F1ikk??? (3.34)
j(??A?=Akj00????k?1?A?=A11j?????A?=Aiij????11?A?=Akk??1j??0?A?=Akk
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?A)
另一方面,对任何A?Fk,存在互不相交的A,A,?,A?F?k使得A??Aj,我们自然地
12lj?1l定义
Q?A???Q?A?, (3.35)
jj?1l我们有下述重要的结果.
定理3.4 由(3.34)—(3.35)定义的Q 是??,Fk?上的一个概率测度,它满足
Q?A??0,?A?F?k, (3.36)
i?Q?A???i?1Q?i,?i??1?i??A?,?i?i?A??,?A?F?i?,1?i??k, (3.37)
并且对域流?Fi?k?i?0,贴现股价过程S????是一个Q-鞍.
证明: 10 由(3.34)容易看到(3.36)是成立的.
20 我们来证明(3.37).由(3.34)知(3.37)对i??k成立.
今对任何的Akj?1?F?k?1,由Akj?1??Al?Akj?1?、Al?Akj?1??F?k,1?l?lkj?1,
l?1lk?1j故 ??Al?Akj?1???Akj?1,则?k?1?i?Al?Akj?1????k?i??Al?Akj?1????k?i?Akj?1?,所以
Q?Ajk?1????3.35?????A??QAljk?1l?1jlk?1lk?1j?3.34?lk?1jk?l??l?1i?1jk?1Qi,?k?i?k?1?i?A?A??,??A?A???
ljk?1k?iljk?1jk?1ljk?10ljk?1???Q?i,?l?1i?1k?ii?1k?1k?1?i?A?A??,??A?A???Q?k,??A?A??,??A?A???
lk?1?i??Q?i,??A?,?jk?1k?1?A???Q?k,Ajk?1l?1lk?1jjk?1,Al?A??
jk?1?3.29???Q?i,??A?,?k?ijk?1i?1k?1k?1?i?A??, (3.38)
jk?1这就是i??k?1时的(3.37)式.运用递推方式,我们可以证明(3.37).
30 现在我们证明Q为?上的一个概率测度. 由
F?k?Al?Akj?1?|Akj?1?F?k?1,1?l?lkj?1??Akj|1?j?mk?,则
???Q????????jQ?AkjkAk?F?klk?1j????Q?i,?Ak?F?kjkk?1?i?A?,??A??
jkk?ijkljk?1i?1?jAk?1?F?k?1l?1???Q?i,?i?1k?1k?1?i?A?A??,??A?A???
ljk?1k?ilk?1j?jAk?1?F?k?1i?1??Q?i,?k?1k?1?i?A?A??,??A?A????Q?k,Aljk?1k?iljk?1l?1jk?1,Al?A??jk?1
?jAk?1?F?k?1i?1??Q?i,??A?,?k?ijk?1k?1?i?A??
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?jAk?1?F?k?1?Q?Ak?1????jjA1?F?1?Q?A1j???Q?1,?,A1j??1, (3.39)
, (3.40)
jA1?F?140 证明S????是一个Q-鞍.我们只需证明
??????EQ??S?i?|Fi?1??S?i?1??EQ??S?i?|Fi?1??0,1?i?k??下面,我们仅对i=k进行证明(一般情形是类似的).由命题1.5可得: 对????,?Aij?1?F?i?1,有
??Ai?1,则
j??1????S?i,????S?i?1,????Q?????Iw??? ??EQ????w??S?i?|Fi?1???????Ai?1w?1Q?Ai?1????Awi?1??1?S??i,????S??i?1,????Q???? ????jjQ?Ai?1?li?1jjl???Ai?1??A?Ai?1?mi?l?1?1Q?Ai?1?jS?i,A?A???S?i?1,A??Q?A?A?? ?????lji?1?ji?1lji?1l?1jli?1?3.37??1Q?Ai?1?j??Q?w,?l?1w?1li?1jii?1?wS?i,A?A???S?i?1,A?? ?A?A??,??A?A???????lji?1i?wlji?1?lji?1?ji?1?1Q?Ajji?1??Q?w,?w?1i?1i?w?A?,?ji?1i?1?w?A???
ji?1l3.30???i?1???jlj?lj?j????Qi,Ai?1,A?Ai?1??Si,A?Ai?1??S?i?1,Ai?1????0,
???l?1????? (3.41)
于是S????是一个Q-鞅.▲
2. 多时段市场的等价鞅测度 下面,我们引进一个重要的定义.
定义3.5 称Q为市场的一个等价鞅测度,如果Q是??,Fk?上与P等价的概率测度(即,对 每个生成元Akj?F?k,都有Q?Akj??0),并且股票的贴现价格过程S????是一个Q-鞅.
由定理3.4知,由(3.34)——(3.35)定义的Q是所考虑多时段市场的一个等价鞅测度.我们再来进一步看一下等价鞅测度Q的金融学意义.由于S????关于Q是一个鞅,故对任何时刻t=i ,有
???S??0??EQ?S??i??EQ?Si|F??0??????, (3.42)
上式表明,假如事件是按照概率Q发生的,那么当前时刻t=0所能预期的任何一个将来时刻t=i
的股票贴现价格和当前的(贴现)价格完全一致的.事实上,还有更强的结论:在任何一个时刻t=i
??所能预期的任何一个时刻i以后的时刻l的股票贴现价格EQ??S?l?|Fi?与时刻i的股票贴现价 格S??i?是完全一致的.也就是说,如果事件是按照概率Q发生的,那么在贴现的意义下,股票市 场是“绝对公平”的,即没有期望意义下的“赔”和“赚”,因此,人们也称这样的Q是“风险中性”的。
值得注意的是,尽管Q和P是等价的,但是一般而言,它们是不相等的.从而,股票市场一般来说不是风险中性的.下面的命题很有用.
命题3.6 设Q是一个等价鞅测度,则对任何(?Fi?i?0-可料的)投资策略
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