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数学金融学第七章多时段市场问题
图2.2
记
?i?A?ijiji?2,2?1,?,2iii?1?1,i?0,1,2?,k?, (2.16)
在时刻t =0,只有一个(已知的)状态A10(节点1),时刻t=1有两个状态A12(节点2)A13(节点3)别发生的概率分别为p1和p2( p1?p2?1),时刻t =2的情形是这样的,如果状态A12(节点2)在时刻t=1发生,则状态A2(节点4),(节点5)将分别以概率发生p4和p5(p4?p5?1),而如果状态A13在422时刻t=1发生,则状态A6(节点6)A7(节点7)将分别以概率发生p6和p7(所以p6?p7?1);依此类推知,时刻t =i的每个节点ji?Ni,时刻t =i + l,再分叉为两个节点,标号为2ji和2ji?1.
令
Si?ji??S?i,??,??Aii (2.16.1)
j故, Si?ji??表示在时刻t =i,当状态Aij发生时的股票价格.
i没??Ak??,节点1到节点jk的路径是惟一的,此路径以节点序列j0,j1,?,jk表示,令 jkk?1P?????i?0pji?1,P?A???P???,A?F??A,
则,P是??,F?一个概率测度(证明类似()).综知上述我们称上述的节点集N0,N1,?,Nk和所有
Si?ji?,ji?Ni,i?0,1,2,?,k(满足(2.18)和(2.19 ))的总体为一个在带域流的概率空间
??,F,?F?ii?0,P?上的多时段市场的二叉树模型.
2. 多时段市场“二叉树模型”的欧式未定权益的定价
现在,再来考虑无风险的债券.对于多时段情形,我们设时间区间[i,i+1)上的无风险利率为ri它是依赖于i 的,则债券价格过程为：
i?1Bi?B(i)?B0?(1?rj)j?0,i?0. (2.20)
现在,我们考虑时何区间[0,k]上的一个欧式未定权益,它在到期时刻t=k的损益为Xk:
,需要注意的是时刻t=k可能发生的状态全体就是?k(它等同于Nk),因此,Xk是定义于
Nk?RNk的一个函数.假定该未定权益是可复制的,我们首先希望找出该未定权益在时刻t=k-1的价
格Xk?1: Nk?1?R,然后,Xk?1又可以看作时间区间［0,k-1]上的一个欧式未定权益.按照上面的思路,我们可以求出它在时刻t=k-2的价格,以此类推,最终可以求出X0——未定权益Xk在时刻t=0的价格.现在,让我们来具体实现这个思路.对每个节点j?Nk?1.它的两个分叉节点是
2j,2j?1?Nk.考虑以j,2j和2j十l为节点的一个二叉树枝及未定权益Xk|?2j,2j?1?(即Xk在?2j,
2j?1??Nk的限制).注意到在节点j?Nk?1和2j,2j?1?Nk处的股票价格分别为sj,s2j,s2j?1,
类似于单时段情形(见(2,8)和(2.9)),我们可以定义
qjk?1?(1?rk?1)sj?s2js2j?1?s2jk?1, (2.21)
11?rk?1Xk(2j)]?qj[k?1Xk?1(j)?(1?qj)[11?rk?1Xk(2j?1)], (2.22)
然后,我们可以一般地引人下述定义：
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?i?1?1?ri?1?sj?s2j;?qj?s2j?1?s2j??Xi?2j?Xi?2j?1??i?1i?1Xj?1?q?q; ?????i?1jj1?r1?ri?1i?1??j?N,i?k,k?1,?,2,1.i?1??? (2.23)
而复制策略为(比较(2.7)):
Xi?1(2j)s2j?1?Xi?1(2j?1)s2j?i?z0(j)?Bi(1?ri)(s2j?1?s2j)???zi(j)?Xi?1(2j?1)?Xi?1(2j)?s2j?1?s2j? (2.24)
当(2.18)成立时,上面(2.23)和(2.24)所有的量均是可以明确定义的.上面给出的是递推公式,可以容易地计算出未定权益在到期时刻t=k以前任何一个时刻t=i－1的价格和相应的复制策略.我们假设(比较(2.14))
s2j?sj(1?ri)?s2j?1j?Nii?0,1,2,?,k?1,,,
(2.25)
上式保证：
(2.26)
类似于单时段情形,我们可以证明(2.18)等价于市场的完备性,而(2.25)等价于市场无套利.
3. 一个带域流新的概率测度空间
构造F上的一个序列的概率测度Qi,i?1,2,?,k.对??Aij??,对应节点1到节点ji的
i0?qj?1j?Nii?0,1,2,?,k?1,,,
i路径是惟一的,此路径以节点序列j0,j1,?,ji表示,其中,
jl?Nl,0?l?i,j0?1. (2.27) 此路径上的相邻两节点jl和jl?1之间的路径段都联系着一个(由(2.23)定义的)概率qlj(当jl?1l为奇数时)或1?qlj(当jl?1为偶数时).我们在Ni?0?i?k?1?上定义Qi如下:
lQi????QiA?iji??Q?j???iil?0i?1jl?1?1j??1l??1?l?1?1????1?lq??1?q??jj22?ll?????i??,??Aji??, ????ji?Ni,1?i?k?1;Q0?1??1
(2.28.1)
显然,有
1i?1?Q?2i?2m??1?qi?Q2?m?;?iii?1?2?2mi?11?i?k,0?m?2?1. ?ii?1i?1Qi?2?2m?1??qiQi?1?2?m?.?2?2m?1??? (2.28.2)
下面验证Qk是F上的一个概率测度.我们仍然从Nk出发,由于Nk??2k,2k?1,?,2k?1?1?,并且对于节点2k?2m和2k?2m?1来讲,从节点1到它们的路径只有最后一段不相同,从节点1到它们共同的前一个节点2k?1?m的路径是相同的.因此,我们有(注意Nk中共有2k个节点)
k?12ijk?1?1k?1k?22ik?1?1k?1k?2?jk?NkQk?jk????qij?Nki?0??m?0q2k?2m?qi?0?2k?2m?i??m?0q2k?2m?1?qi?0i?2k?2m?1?i
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2k?1?1k?2i2k?1 ? ?m?0??q?i?0?m?i?qk?12k?1?2mk?1?q2k?1?2m?1???j?Nk?1Qk?1?j???j?Nk?2Qk?2?j???
?j?N1Q1?j??Q1?2??Q1?3??q2?q3?1, (2.30)
00而每个Qk????0,所以Qk是F上的一个概率测度.同理,Qi是Fi上的一个概率测度.令Q?Qk 则,上面构造的??,F,?Fi?i?0,Q?是一个带域流的新的概率空间. 令
Xi????Xi?ji?,??Aiij?ji?Ni??F?i,0?i?k, (2.36.1)
其中Xi?ji?由(2.23)给出.
当??Aij?ji?Ni?时,Si???和Xi???分别是时刻i的结点j的股票价格和未定权益值,不
i难知随机变量Si???、Xi???均是Fi-可测,0?i?k.
定理2.2 假定(2.25)成立,而qij?0?i?k?1,ji?Ni?由(2.23)给出.假没Xk:??R为?0,k?
i上的一个欧式未定权益在到期时刻的损益,Xi?0?i?k?1?由(2.23)给出,Si????0?i?k?和
Bi?0?i?k?分别由(2.36.2)和(2.36.1)给出,则BiSi和BiXi都是Q-鞅.特别地,未定权益Xk在
?1?1任何时刻i的价格为
?1?. Xi?BiEQ??BkXk|Fi? (2.37)
, (2.38)
证明 (i) 证明Bi?1Si是Q-鞅.为此只需证明
?1?1Bi?1Si?1????EQ?BSi|Fi?1?i?????,?????1?i?k设???,则?|Aij?1?F?i?1,ji?1?Ni?1,有??Aij?1
i?1i?1?1.17??2.33.1??EQ??BSi|Fi?1?????1i??2.36.1?1i?1QAi?1?j?ji?1???Ai?12j?Aii?1?BiSi????Q?????12j?1?Aii?1
?Bi?1ji?1i?1QA???s2jQAi2ji?1?s2j?1QAi2ji?1?1? ??????
?2.35??2.36???2.23?BiBi?1?1?1Qi?1?ji?1?1?ri?1?1i?1i?1?s2j?1?qij?1?Qi?1?ji?1??s2j?1qij?1Qi?1?ji?1?? ????2.23?i?1?s?qji?1s2ji?1?1?s2ji?1?2ji?1????
?2.36.1? ?Bsj?1i??1Bi?1Si?1???.
?1 (2.39)
i?1?X?2j?Q?Ai?????BX|F(ii) EQ?ii?1ii?12j??i?1Q?Aj??i?1Bi??X?2jii?1i?1?QA2ji?1?1????
??X?2j?1?qi?1?X?2j?1?qi?1?ii?1ji?1ii?1ji?1?1?ri??1i?1Bi?1??
?2.23??BXi?1?ji?1??2.36.2??Bi?1Xi?1???,
?1 (2.40)
故Bi?1Xi是Q-鞅,且(2.37)成立.▲
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我们注意到,若取i=0,且设B?0??1,则(2.37)变为
?1? X0?EQ?B?1X1F|?0??X1??E?, (2.4l) ?B1?这恰好就是第5 章中给出的单时段未定权益的风险中性定价原则下所确定的价格.由上面方式确定的概率测度Q 被称为该证券市场的一个等价鞅测度,我们将在下面一般地讨论它.
§7.3 多时段市场的一些性质以及欧式未定权益的定价
现在,我们接着本章第l节,详细地讨论多时段市场的一些性质,以及这种市场中的欧式未 定权益的定价问题.
一、多时段市场的模型
给定有限个时刻0,1,2,?,k和一个带域流的概率空间??,F,?Fi?i?0,P?,其中,?????1,
?,?mk,F?Fk??,AA为?的子集????,Fk的剖分为:F?k??AkjAkj???j?,j?1,?,mk?,域
iFij?0?i?k?1?为时刻i的事件域,其生成元集为F?i??A1i,Ai2,?,Aim?,由(1.5)知,作为Fi中元
都可以表示为F?i?1中元素Al?Aij??1?l?lij?的集合的并集,即
Aji?1lijAi??A?All?1ji?1?, ?A?Alji?1?l?lji,1?j?mi???j??Ai?11?j?mi?1???mi?t?1???. l??Fi?1??ti (3.1)
我们视Akj?1?j?k?等同于?j.
以本章第2节的二叉树模型为例,Al?Aij?恰好是由节点Aij分叉出来的后续节点,而lij恰好是后续节点的个数.我们称每个Al?Aij?为事件Aij的后续事件,而称Aij为Al?Aij?的前期事件. 值得注意的是,任何基本事件的前期事件是惟一的.而一个事件的后续事件不一定惟一.由于股票价格S?????S1???,S2???,?,Sn????是?Fi?i?0-适应的,根据推论1.3,在每个Aij上是常值向量,记作S?i,Aij?,所以,
S?i,??=S?i,Ai?,??Ai,0?i?k,1?j?mi
jj (3.2)
这也恰好表明,在时刻i,当基本事件Aij发生时,股票价格S?i,Aij?是完全确定的.细心的读者也许发现,上述框架可以看作是一个多叉树模型,它是第2节中二叉树模型的一个自然推广.现在,对于i?1,我们考察在时刻i -1 事件Aij?1发生时,预测时刻i股票价格的情形.在时刻i -1,已知股
jjl票的价格为S?i?1,Aij?,而在下一个时刻i,事件Aij?1有个li?1后续事件,因此,股票的价格有i?1种
j可能.S?i,Al?Aij?1???Rn,1?l?li?1类似于第5章中的单时段情形,我们作如下等同:
S?i,Ai?1?j?Si,A1Aj?i?1??1????j?Si,Ali?1?Aj?i?1?1????Sni,A?1?A??ji?1j?Sni,Ai?1?Ai?1?lji?1ln??l??j?T??Si,A1Aj?i?1?????????Tjli?1??jSi,A?Ai?1??????????jl?n??R?i?1 , (3.3) ????其中S?i,A?Alji?1????S?i,A?A??,?,S?i,A?A???1ji?1Tj,1?l?li?1.
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j1jj?Si,A1Aj?S1?i?1,Ai?1??Sni,A?Ai?1??Sn?i?1,Ai?1???1i?1???j? ?S?i,Ai?1????????jjll?Si,Ai?1?Aj??S?i?1,Aj??Si,Ai?1?Aj??S?i?1,Aj??i?11i?1ni?1ni?1?1??jTli?1?njj ?, (3.4) ?Si,Ai?1?1Si?1,Ai?1?R??jTjn此处,1??1,1,?,1??Rli?1,并需要注意S?i?1,Ai??R. 1?????????????对于债券来讲，我们假定利率过程r???是?Fi?i?0-适应的,即r?i?是Fi-可测的(需要注意, 如果r???本身是确定性的,则它天然是?Fi?i?0适应的),从而,在时刻i-1事件Aij?1发生时,时间区 间[i-1,i]上的利率(记作)r?i?1,Aij?1?是完全确定的.另一方面,在时刻i-1 事件Aij?1发生时,债券 在时刻i-1 的价格(记作)B?i?1,Aij?1?是已知的.这样,在时刻i-1人们就能完全确定债券在i的价格(比较(1.12)):
jjjB?i,Ai?1??B?i?1,Ai?1??1?r?i?1,Ai?1??, ?? (3.5)
换言之,债券价格过程B???是?Fi?i?0-可料的(即r?i?是Fi-可测的).我们记债券?i?1,i?上的增益为(比较(1.25)):
?B(i,Ai?1)?B(i,Ai?1)?B(i?1,Ai?1)?B(i?1,Ai?1)r(i?1,Ai?1)jjjjj, (3.6)
?z0????现在,对于自融资投资策略Z??????,由它的?Fi?i?0? z??????j-可料性(Z?i?关于Fi?1-可测)得知,
Z?i?在每个Ai?1上均为常值向量(推论1.3).从而,我们可记
?z0?i,Aij?1???z0?i,???j?,??Aj,1?l?lj,1?j?m,i?1, Z?i,??????Z?i,Ai?1???i?1i?1i?1j? z?i,????? zi,A??i?1???? (3.7)
这样,由(1.23)可得,如果在时刻i-1事件Aij?1发生,则策略Z???在时刻i-1的价值(记作)
V?i?1,Ai?1,Z??Rjj可有如下表示:
jjjTjV?i?1,Ai?1,Z??B?i?1,Ai?1?z0?i,Ai?1??S?i?1,Ai?1?z?i,Ai?1?,
(3.8)
jjjZ???在时刻i的价值有li?1种可能(依赖于Ai?1因为事件Aij?1有li?1个后续事件,故此时预测策略
的后续事件Al?Aij?1?):
nV(i,A(Alji?1),Z)?B(i,Aji?1)z0(i,Aji?10ji?1)??Sa?1a(i,A(Ai?1))za(i,Ai?1)lji?1TljjVi,A?l?A?,Z??B?i,A?z?i,A??S?i,A?A??ji?1ji?1 jz?i,Ai?1?, (3.9)
记
?Vi,A1Aj,Z?i?1??jV?i,Ai?1,Z?????j?Vi,Ali?1?Aj?,Zi?1????????j??Bi,Ajzi,Aj1?Si,Ajzi,Aj?Rli?1,(3.10) ????????i?10i?1i?1i?1???第 15 页 共 40 页