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数学金融学第七章多时段市场问题
Z????z0???,z????T?T
它的贴现价值过程V??i,Z?是一个Q-鞅.
????证明：EQ??V?i,Z??V?i?1,Z?|Fi?1??EQ??S?i?z?i?|Fi?1?
???3.14?T 从而,V??i,Z?是一个Q-鞅.▲
z???可料性?EQ??S???i?T|Fi?1?z?i??Q等价鞅?0, (3.43)
在单时段市场的讨论中,我们有市场的无套利性和风险中性概率测度存在性之间的等价关系.对于多时段市场,我们也有类似的结果,它包含了单时段的情形.
定理3.7 多时段市场无套利当且仅当市场存在等价鞅测度.
证明: ?: 利用命题3.2和3.3,我们可得市场无套利当且仅当每个单时段子市场无套利. 然后,再利用定理3.4可知,此时市场存在等价鞅测度.
?: 设市场存在一个等价鞅测度Q.假如市场有套利,则存在一个套利策略Z???使得(3.21)
??,则?关于F0可测知.又F0???,??,于是由定义1.4知 成立.令??EQ??V?k,Z?????EQ?V??k,Z?|F0?, Vk,Z?=EQ???????再由等价鞅测度的定义,
???EQ?V??k,Z?|F0??V??0,Z??V?0,Z??0, EQ?Vk,Z???????则 EQ?V?k,Z????? (3.44)
jAk?F?k?V??k,AZ,?Qkj?jkA?? 0再由Q和P的等价性以及V??k,Z?的非负性(见(3.21)的第二式),我们可得
V?k,Z??B?k?V??k,Z??0, (3.45)
这与(3.21)中第三式矛盾.▲
假如记L为(多时段)市场的等价鞅测度全体,则上述定理说:市场无套利当且仅当L? ?另外,容易看到,当k=1时,等价鞅测度就是第5章中的风险中性概率测度,而上述结论恰为单时段市场情形下的相应结论.
现在我们证明一个命题,它说明了(3.34)——(3.35)那种定义Q的方式的某种合理性.
?是??,F?上与P等价的概率测度,定义 命题3.8 设QQi,A?ji?1,Al?A???ji?Al?Aj?Qi??Aj?Qi?1??,?1?i?k,1?j?mi?1,1?l?li?1, (3.46)
jj(1) Q?i,Aij?1,??是?Al?Aij?1?,1?l?li?1?上的一个概率测度;如果再按照(3.34)——(3.35)定
义Q, 则
??A?,?A?F, (3.47) Q?A??Qk??L,则每个单时段子市场Tj?Aj,Al?Aj?,1?l?lj均无套 (2) 如果L??,并且Q?i?1i?1i?1i?1?利,且由(3.46)定义的Q?i,Aij?1,??为该单时段子市场的一个风险中性概率测度.
证明: (1) 对任何的Akj?F?k由定义(见(3.34)——(3.35)和(3.46)),我们有
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数学金融学第七章多时段市场问题
Q?Ajk???Q?i,?i?1kk?1?i?????A?,??A????Q??A??/Q?jkk?ijkk?ijki?1kk?1?i?A??
jk??Aj?/Q??k?Aj??Q??Aj?/Q?????Q??Aj??Qkkkk??, (3.48)
于是(3.47)必成立.
??L,对??Aj,我们有(由命题1.5) (2) 当时Qi?1Smi??i?1,A??S?i?1,???Eji?1??Q?S??i?|Fi?1???? ????1?????EQS?i?|Fi?1?????Q?????IAiw?1??? ?????w???w?1Q?Ai?1????Awi?1??11???????????ESi,?|FQ?????i?1???Aj???Aj??jQjQQli?1S?????? ?i,???Q???Ai?1i?1???Ai?1?jjl?A?Ai?1?l?1i?1??S?i,A?A???lji?1l?1li?1j?Al?Aj?Qi?1??Aj?Qi?1????S?i,A?A??Q?A?, (3.49)
?lji?1ji?1l?1li?1j?jj?S?i,Ai?1???0,这表明Q?i,Ai?则,EQ?,?为该单时段子市场的一个风险中性概率测度.▲ 1???三、欧式未定权益的定价
现在来讨论欧式未定权益问题.
定义3.8.1 设Xl为一个Fl-可测的随机变量,0?l?k,我们将它设定为一个欧式未定权 益在到期时刻t=l 的损益.为了方便起见,有时我们直接称Xl为(在时刻t =l 到期的)未定权益.类似于前面所讨论的,我们称该未定权益在[i,l]上是可复制的,如果存在一个定义于[i,l]的自融资投资策略Z???,使得
V?l,?,Z??Xl???,????, (3.50)
此时,Z???称为Xl的一个复制策略,对任何的j?i,i?1,?,l,V?j,?,Z?称为Xl在时刻j的价格.
下面的结果告诉我们,等价鞅测度可么帮助我们对未定权益进行定价. 命题3.9 设L?Xk???,则未定权益Xk在[0,k]上可复制当且仅当Q?EQ??Bk????不依赖于
?X?kFi?为该未定权益在时刻i Q?L,此时,B?i?EQ?Bk??????的价格.
证明: ?: 设Xk在[0,k]上可复制,则存在复制策略Z???,使得(3.50 )成立(l=k).对任何的
Q?L,由命题3.7(3.44),
????Xk????V?0,Z??V?0,Z??EQ??V?k,Z?|F0??EQ?V?k,Z???EQ?Bk?????, (3.51)
由于上式的最左面不依赖于Q?L,因此,最右面也不依赖于Q?L.
?: 10 证明对于Tkj?1??Akj?1,Al?Akj?1??,?1?j?mk?1,1?l?lkj?1?的单时段子市场上,未定权
益Xk在每个Tkj?1上可复制.
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假设未定权益Xk?Akj?1,Al?Akj?1??1?l?lkj?1在某个Tkj?1上不可复制. 由于L??,我们
??L.由命题3.8知,如(3.46)定义的Qj????Qk,Aj,?是单时段Tj上的一个任意固定一个Q?k?1?k?1k?1??风险中性概率测度.于是由第5 章的结果,由于Xk?Akj?1?在Tkj?1上的不可复制性,单时段子市场
Tk?1除了Qk?1以外,至少还存在另一个(定义于Ajj??A?|1?l?l?的)风险中性概率测度
ljk?1jk?1jk?1?jAl?Aj??Q?jk,Aj,Al?Aj?Qk?1k?1k?1k?1k?1jEQj?Xk?Ak?1????k?1?lk?1j????,l?1,?,llkj,使得
?Q?A?A??X?A?A??
jk?1ljk?1jk?1l?1?E?j?Xk?Akj?1???Qk?1??w现在对?Ak?F?k,我们定义
??A?A??X?A?A??, (3.51.1) ?Qjk?1ljk?1lkjk?1l?1lk?1??Aw?Qk??Aw?,Aw?Al?Aj?,1?l?lj;?Qkkk?1k?1??? (3.51.2)
jjljjwljj??Qk,Ak?1,A?Ak?1?Q?Ak?1?,Ak?A?Ak?1?,1?l?lk?1.??k?1????L 下面证明Q①
wAk?F?k???Aw??Qk?3.51.2?????Aw??QkjjwwlAk?F?k,Ak?AAk?1,1?l?lk?1???k,A?Qjk?1l?1lk?1jjk?1,Al??A? ?A??Qjk?1jk?1??是概率测度. 所以,Q??jjwwlAk?F?k,Ak?AAk?1,1?l?lk?1???Aw???Al?Aj??Q?Qkk?1l?1lk?1j?????Aw??1 QkwAk?F?kww② 对????,存在Ak?F?k?1,有??Ak?1,由命题1.5知 ?100?EQ???S??k?|Fk?1???????1??????????EQ???S?k?|Fk?1????Q???IAw??? ?w??Q?A????Aw?j?1w?1k?1k?1??1????? ??S??k?|Fk?1?????Q?E??Q??w0?Aw0Qmk?1?k?1????Ak?1??S当w0?j时,有EQ???k?|Fk?1???????1?Aw0Qk?1???0???Ak?1w????EQ?S?k?|Fk?1????????Q???
??EQ?S?k?|Fk?1?????????0;
k?1??S当w0?j时,有EQ???k?|Fk?1???????j1??Aj??jQk?1??Ak?1k?1???EQ???S?k?|F????? ?????Q??1??Aj?Qk?1lk?1jlk?1?El?1?Q??S??k?|F?jk?1jk?1?Al?Aj? ?Al?Akj?1?Qk?1?jk?1l?????3.51.2????k,A??S?k??A?A??Q?ll?1,A?A??jk?1?j为风险中性概率测度Qk?1?0
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???L. ??0.类似可证明E???S??i?|Fi?1??0,1?i?k?1,所以, Q所以,EQ???Sk|F??k?1Q?????Xk??3.51.2???Aw?X?Aw?/B?k,Aw? EQQ?????kkkk?1Bkjjw?wl??Ak?Fk,Ak?A?Ak?1?,1?l?lk?1???jk,Aj,Al?Aj?Q??Aj?XAl?Aj?/B?k,Aj? ??Qk?1k?1k?1k?1kk?1k?1l?1lk?1j?????Xk??3.46???Aw?X?Aw?/B?k,Aw? EQQ?????kkkk?1Bkjjw?wl??Ak?Fk,Ak?A?Ak?1?,1?l?lk?1????Aj?XAl?Aj?/B?k,Aj? +?Qkj?1?k,Akj?1,Al?Akj?1??Qk?1k?k?1?k?1l?1lk?1j于是,由(3.51.1)知,EQ??在每个Tkj?1上可复制.
?Xk??Xk??E????QBkBk????????,这样,Q?EQ??Xk??Bk??????L.所以,X 就依赖于Qk20 由10知,Xk在每个Tkj?1上可复制,则存在Z?k,Akj?1??Rn?1,使得
V?k,Z,Ak?1??z0?k,Ak?1?B?k,Ak?1??Sk,Ajjj?l?Ak?1?j?z?k,A??X?A?A??,
jk?1lkjk?1TT1?j?mk?1,1?l?lk?1,
j (3.52)
jjjjj显然Z?k?是Fk?1-可测的,此时,定义
Xk?1?Ak?1??V?k?1,Z,Ak?1??z0?k,Ak?1?B?k?1,Ak?1??S?k?1,Ak?1?z?k,Ak?1?.
j (3.53) ,则
由(3.52) 、(3.53)知,对Q?L,有EQ??XkEQ?|FBk????Xk?1, ?k?1?Bk?1????Xk?B?k??Xk?1B?k?1?|F?T???E?Sk|F??k?1?Q??k?1?z?k??0?则
?Xk??Xk?1?EQ???EQ??BkBk?1????????,
?Xk?1?EQ??也不依赖于Q?LBk?1????由于
?Xk?EQ??Bk????不依赖于Q?L,因此,
,所以,由10知,在对应
于Tkj?2??Akj?2,Al?Akj?2???1?j?mk?2,1?l?lkj?2?的单时段子市场上,未定权益Xk?1在每个Tkj?2上可复制.按照上面的方式递推得出:Xk在[0,k]上可复制.
30 当Xk在[0,k]可复制时,对任何的Q?L,我们有
?X?k?V?i,Z??EQ??V?k,Z?|Fi??EQ?BkFi?????????, (3.58)
?X?kFi?为该未定权益在时刻i的价格.▲ 从而,B?i?EQ?Bk??????第 24 页 共 40 页
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四、多时段市场的完备性
类似于第5 章,如果任何未定权益Xl均是在[i, l ]上可复制的,则称市场在[i, l ]上是完备 的.下面的结果是关于市场完备性的.
命题3.10 假如多时段市场的任何一个单时段子市场均是完备的,则这个多时段市场也是 完备的.反之,假如多时段市场是完备的,且无套利,则它的任何一个单时段子市场均是完备的.
证明: 假如每个单时段子市场均是完备的,则对任何(Fk-可测的)未定权益Xk,必定存在 定义于[k-1,k]上的策略Z???,使得
V?k,Z,???Xk???,???, (3.59)
对于Xk?1?V?k?1,?,Z?重复上述的过程,可得定义于[k-2, k-1]上的策略Z???使得
V?k?1,Z,???Xk?1???,???, (3.60)
利用归纳法,最终可知,未定权益Xk在[0, k]上是可复制的.
反之,假如多时段市场无套利,且存在一个单时段子市场是不完备的,则按照命题3.9的证明方法,我们可以构造两个不同的等价鞅测度,从而,存在一个不可复制的未定权益,故多时段市场在[0, k]上不完备,矛盾.▲
定理3.11 假如多时段市场无套利，则该市场完备当且仅当它存在惟一的等价鞅测度.
?Xk?证明: 假如存在惟一的等价鞍测度,则对任何未定权益Xk,映照Q?EQ??Bk????当然不
依赖于Q,因此,Xk必可复制,从而,市场完备.
反之,假如存在两个不同的等价鞍测度,则必存在一个未定权益Xk使得映照
?Xk?Q?EQ??依赖于Q.从而,该Xk?B?k??不可复制,故市场不完备.▲
§7.4 美式未定权益的定价问题
在这一节中,我们讨论另一类重要的未定权益——美式未定权益，它与前面第3节中讨论
的欧式未定权益有很大的不同,在第4 章中.读者对此己有一定的了解.本节所有的讨论均基于第1节引人的多时段市场,另外我们还需要一些准备,为此,先引入下述重要的定义.
一、停时和上(下)鞅
1. 停时
定义4.1 假如随机变量?具有下述性质:
???i??????|?????i??Fi,?0?i?k, (4.1) 则称之为一个?Fi?i?0-停时,简称停时.
停时是一类非常特殊的随机变量.每个常数i 均是一个停时,也存在非常数的停时和非停时的随机变量.由(4.1)可见,停时是依赖于域流?Fi?i?0的,当域流改变时,停时有可能发生变化
(见复习与思考题10).由于在本章中,域流是给定的,因此,简称停时不会引起混淆.我们记
??i,j????为?F?-停时|i???j?,i?jTii?0. (4.2)
我们来举一个停时的例子(回忆本章的例1.1).
例4.2 考虑三个时刻: 0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻、前市收盘时
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