长沙理工大学备课纸
数学金融学第七章多时段市场问题
三、鞅
定义1.7 假如一个?Fi?i?0-适应的随机过程X???具有下述性质:
E??X?j?|Fi???X?i?,0?i?j.
(1.21)
则称之为一个P-鞅.
由于条件数学期望是依赖于域流?Fi?i?0和概率测度P的,因此,鞍的定义是依赖于域流
?Fi?i?0和概率测度P的.也就是说,当概率空间上的域流或概率测度改变时,一个原来不是鞅的
随机过程可以变为一个鞍;反之.一个鞍可能不再是鞅(见复习与思考题3).在我们的框架下,域流是给定不变的,因此,我们不特别强调鞅对域流的依赖性;而仅仅强调它对概率测度的依赖 性,故称之为P-鞅.鞅是一类重要的随机过程,以后我们会看到它的许多用处.
现在我们来考虑n种股票,设它们的价格为一个?Fi?i?0适应的(取值于的)随机过程
S?????S1???,S2???,?,Sn????,我们来解释一下该过程?Fi?适应性的含义.以股票1为例,在时 i?0T刻1,其价格为S1?1,??,由于在时刻1恰好有一个F1中的基本事件A1j?F?1发生,而由推论1.3,
S1?1,??在Ai上是常数,因此,S1?1,??被事件域F1完全确定,这恰恰体现了S1???的?Fi?i?0适应
j性的含义.给定时刻0,1,2,?,k和一个带域流的概率空间??,F,?Fi?i?0,P?,假定在此概率空间上,给定了?Fi?i?0适应的利率过程r???和由(1.12）给出债券价格过程B???,还给定了?Fi?i?0适应的股票价格过程S?????S1???,S2???,?,Sn????,此时,我们称一个多时段市场给定了. 现在再来考虑投资策略.我们假定所有的交易仅在时刻0,1,2,?,k进行,且不需要支付交 易费.假如在整个投资时区[0,k]上除初始投资外没有新的资金注入,也没有资金撤回,这种投资方式称为是自融资的,我们将在下面给出自融资投资策略的严格定义。
对于单时段市场情形,策略Z?(z0,zT)T?R?Rn是一个常值向量,所以.它是F0测的.该策 略是在时刻t =0 确定的,而它起作用的时刻是t=1(比如末定权益定价,最优投资等等).对于多 时段市场问题,策略是一个取值于空间R?R的随机过程Z??,????z0??,??,z??,??nTTT?T.我们约
定Z?i,???(z0?i,??,z?i,??)T是在时刻t=i-1确定的,z0?i,??是[i-1 ,i ]上债券的持有量.而
z?i,????z1?i,??,z2?i,??,?,zn?i,???中的zj?i,??是[i-1,i ]第 j 种股票的持有股数,这个策
T略在时刻t=i 起作用.因此,我们引出以下一个重需要概念.
定义1.7.1 随机过程Z???满足如下条件:对每个i >0,Z?i?是Fi?1-可测的,即Z?i?的确定 仅仅用到时刻: t=i-1及以前的信息,这样的过程称为是?Fi?i?0-可料的.
若策略过程Z???是?Fi?i?0-可料的.由(1.12）和r???的?Fi?i?0-适应性,我们可知债券价格过程B???也是?Fi?i?0-可料的.
假定Z?(z0,zT)T?R?Rn是某投资者的一个策略过程,,则初始交易完成后,下面的初值约束成立:
nV0?B?0?z0?1???S?0?z?1??B?0?z?1??S?0?z?1? (1.22)
Tjj0j?1其中,V0为该投资者的初始资产.类似于第5 章,我们可以引入策略过程Z???的价值过程如下:
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nV?i,?;Z??B?i,??z0?i,????j?1Sj?i,??zj?i,???B?i,??z0?i,???ST?i,??z?i,?? (1.23)
???,i?1,2,?,k.
四、策略过程Z???的自融资性
需要指出的是对i >1,上面(1.23)中定义的V?i,?,Z?是在时刻t=i 的交易尚未进行时策略的价值.综合以上说明和分析,我们给出下述严格的定义.
定义1.8 设0?i0?i1?k,随机过程Z???称为?i0,i1?上的一个策略过程,如果
?Z?i0?1?,?,Z?i1??
T是一个?Fi?i?0-可料过程,进一步,策略过程Z???称为是在?i0,i1?上自融资的,如果
?i,??z?i,???B?i,??z0?i?1,???ST?i,??z?i?1,??,i0?i?i1. (1.24)
值得注意的是,根据我们的约定,对于?i0,i1?上的一个策略过程Z???而言,Z?i0?是不需要
有定义的.上面(1.24)表明:在每个时刻t=i,交易前后策略的价值是不变的.按上面定义,单时段市场中的策略过程总是自融资的(因为i0?0,i1?1故(1.24)平凡地成立),因此,在讨论单时段市场的问题时,我们不必引人自融资的概念.另外,当考虑自融资策略时,我们不必区分交易前后策略的价值.
让我们考虑i0?0,i1?k的情形.定义(注意(1.11))
?B(i,?)?B(i,?)?B(i?1,?)?B(i?1,?)r(i?1,?) ，
?S(i,?)?S(i,?)?S(i?1,?)i?1,2,? (1.25)
B?i,??z0?i,???S则在自融资策略Z???下.投资者在?i?1,i?上的增益为：
?V(i,?,Z)?V(i,?,Z)?V(i?1,?,Z)
TT?B(i,?)z0(i,?)?S(i,?)z(i,?)?B(i?1,?)z0(i?1,?)?S(i?1,?)z(i?1,?)T
?B(i,?)0z(i?,?)S?(i,
T??B?i,??z0?i,????S?i,??z?i,??, (1.26)
)z?i(?B,(i)?1?,)z0(i?,?)S?i(?1,T
)z)?i(,上面第三个等式用到了自融资条件(1.24).相应于自融资策略过程Z???的累积增益(过程)定义为
ii0G(i,?,Z)?V(i,?,Z)?V(0,Z)???V(i,?,Z)??[?B(j,?)zj?1j?1(j,?)??S(j,?)z(j,?)]T(1.27)
类似于第5 章,我们将存款作为计价单位,引入贴现股价过程
S(i,?)?*S(i,?)B(i,?)?(S(i,?)TS1(i,?)S2(i,?),,?,n)B1(i,?)B2(i,?)Bn(i,?)i?0,1,2,?,??? (1.28)
?需要注意的是,S??0,???S??0??S?0?是一个确定性的Rn中向量(非随机的),而S?i,??是Rn
值的随机变量(i?1).策略过程Z???的贴现价值过程定义为
V(0,Z)?V(0,Z)?V0V(i,Z)?V(i,?,Z)?***
V(i,?,Z)B(i,?)?z0(i,?)?S(i,?)z(i,?)*Ti?1,2,?,??? (l.29)
由(l.24),我们可得,对于自融资策略Z???,
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V(i,?,Z)?z0(i,?)?S(i,?)z(i,?))?z0(i?1,?)?S(i,?)z(i?1,?)i?1,
**T*T (1.30)
这导致(比较(1.26))在自融资策略Z???下,投资者在[i-1,i ]上的贴现增益为:
i, ) (1.31) ??S(i,?)z(?因此,相应的累积贴现增益(过程)定义为
*T?V(i,?,Z)?V(i,?,Z)?V(i?1,?,Z)?S(i,?)z(i,?)?S(i?1,?)z(i,?)****T*TG??i,?,Z?????V?i,?,Z?????V?0,Z???????V?j,?,Z????
???j?1ii ??j?1?S??j,??Tz?j,??,i?, 1 (1.32)
值得注意的是G??i,?,Z????仅仅依赖于z???,而不依赖于z0???.
下面的命题给出了自融资策略的一种有用的刻画.
命题1.9 设0?i0?i1?k,z???为任何一个取值于Rn的?Fi?i?0-可料过程,V0为一个Fi-
0可测的随机变量,则存在取值于R的?Fi?i?0-可料过程z0???,使得Z?????z0???,z???T?T为一个
?i0,i1?上的自融资策略,且满足
V0(?)?B(i0,?)z0(i0?1,?)?S(i0,?)z(i0?1,?)???,
T (1.33)
证明: 我们定义(注意(1.30))
?V0???T?zi?1,???S?i0,??z?i0?1,??;??0?0B?i0,?? (1.34) ?T??z0?i?1,???z0?i,???S?i,????z?i,???z?i?1,????,i?i0?1.?易知,(1.33)等价于(1.34)中的第一式,而(1.24)等价于(1.34)中的第二式.另一方面,因为z???是
?Fi?i?0可料的,故由(1.34)定义的z0???是?Fi?i?0-可料的,因此,我们的结论成立.▲
我们将在7.3节中更细致地讨论市场的框架和特性.
§7.2 二叉树模型
在这一节中,我们介绍所谓的“二叉树模型”,它将使得我们对前面讨论的多时段问题有更 清楚的认识.
一、单时段市场“二叉树模型”
先考虑单时段市场情形.假定有一种股票,它在时刻t=0的价格S?0??s1是已知的.假定在 时刻t =1,有两个状态,记作?2和?3;它们发生的概率分别为p2,p3??0,1?(所以p2?p3?1),即 ,, (2.1)
假定在时刻t =1的股票价格满足
S(1,?2)?s2S(1,?3)?s3P(?2)?s2P(?3)?s3,, (2.2)
O 2
并假定
s2?s3 p1 , (2.3)
1O
也就是说,股票价格以概率p2从s1变到s2,以概率.
p3从s2变到s3我们可以将上面的描述画成如下的图:
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p2 图2.1 O 3
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这称为一个二叉树枝,它有三个节点,分别用1,2和3 标号,节点1分叉为节点2和3.现在假定市场中还有一种债券,它的价格满足:
,, (2.4)
其中,r>0为利率.根据第5,章的讨论,当s1,s2,s3,p2,B0,r给定时,一个单时段市场就完全确定了,让我们在这个市场中讨论未定权益的定价问题.假定一个未定权益在时刻t=l的损益为
X1??i?,i?2,3.我们希望找到策略Z??z0,z??R2,使得
z0B(1)?z1S(1;?)?X1(?)???2,?3TB(0)?B0B(1)?B0(1?r), (2.5)
即
(2.6)
从(2.6)中可以解出(注意(2.3)):
X1(?2)s3?X1(?3)s2?z??0B0(1?r)(s3?s2)???z?X1(?3)?X1(?2)1?s3?s2??z0B0(1?r)?z1s2?X1(?2)??z0B0(1?r)?z1s3?X1(?3)
(2.7)
上述分析表明,当(2.3)成立时,任何未定权益X1都是可以复制的,因此,(2.3)保证了市场的完备 性.由(2.7) ,我们可以进一步得到未定权益X1在时刻t =0的价格为
X0?z0B0?z1s1??11?r(X1(?2)s3?X1(?3)s2(1?r)(s3?s2)X1(?2)??s1X1(?3)?X1(?2)s3?s2s3?(1?r)s1s3?s2(1?r)s1?s2s3?s2
这里,
q1?0X1(?3))?(1?q0)[X1(?2)]?q0[X1(?3)]111?r1?r (2.8)
(1?r)s1?s2s3?s2 (2.9)
对于上述的单时段市场,我们有下面简单的结果.
命题2.1 上述单时段市场无套利当且仅当由(2.9)定义的q10??0,1?
证明: 上述单时段市场无套利?五,定理3.7该市场中的存在一个风险中性概率测度Q
,其中Q??3??q10??0,1?,
1?1??0??EQ??S????1?q10??s?s?qs?s21131????0???1?r??1?r?Q??2??1?q1?q1?00?1?r?s1?s2s3?s2??0,1?.▲
容易知道,q10??0,1?等价于
s2?s1(1?r)?s3, (2.14)
而(2.8)可以写成
X0?EQ[X11?r], (2.15)
二、多时段市场“二叉树模型”
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1.多时段市场“二叉树模型”
下面,我们来考虑多时段市场“二叉树模型”的情形.
设给定交易时刻0,1,2,?,k,在交易t?i(0?i?k)时刻, 有2i个状态,且在交易时刻t?i上每个状态发生情况下,交易时刻t?i?1可能发生也只发生可能另外两种状态(节点).记
iii?1Ni??2,2?1,?2?1?,0?i?k 又令交易t?k时刻,第jk?2k?1状态(jk?Nk)为Akj??jk?k?1?2kk?,记????,?,?,?12k2k?, 令,
Fk?F=??A|A为?的子集?,则F是一个?-域,而F?k?Akj|Akj??jk??k?1?2k?,jik?Nk?是Fk的
一个剖分.并将第jk?2k?1状态记为节点jk,jk视同于Akj,又设交易时刻t?i?0?i?k?1?的
ji?2?1状态(ji?Ni)为Aiiij?1?2i?Ai?1ii2(j?1?2)?Ai?1ii2(j?1?2),记生成元集F?i??Aij|ji?Ni?产生的
域为Fi,将第ji?2i?1状态记为节点ji,ji视同于Aij,当k?3时,见下图2.2
15 A315={ω8} 7 71514 A2= A3∪A3={ω7,ω8} 14 14A3={ω7} 3 A13=A26∪A27={ω5,ω6,ω7,ω8}
13 A313= {ω6} 6 A26= A313∪A A312={ω5,ω6}
A312= {ω5} 12 123 A0= A1∪A1={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,ω8}=Ω 1 A311= {ω4} 11
5 A25= A310∪A311={ω3,ω4} 我们假定 is?sj2j?Ni i?1,2,?,k 2j?1,,10 (2.18) A10 3=(ω3) 245,
现在假定股票的 ( A1= A2∪A2={ω1,ω2,ω3,ω4} 2 二叉树)价格过程为: S ( j ) ? s j?Nii?0,1,2,?,kij9 , , 9 A3=(ω2) ,
(2.19) 4 A24= A38∪A39={ω1,ω2} 8 A38= {ω1} 第 10 页 共 40 页