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数学金融学第七章多时段市场问题
刻(或中午)和当日全天收盘时刻.设样本空间????1,?2,?3，?4?,其中状态?i具有下述意义:
??1:某股票价格在[0,1]上涨1元，且在[1,2]再涨1元；???2:该股票价格在[0,1]上涨1元，但在[1,2]跌1元；???3:该股票价格在[0,1]下跌1元，但在[1,2]涨1元；??:该股票价格在[0,1]下跌1元，且在[1,2]再跌1元。?4
(4.3)
记
?F0???,??;???F1???,?,??1,?2?,??3,?4??; ???F2??的全体子集. (4.4)
则F0?F1?F2是一个域流.现在,一个经纪人受委托必须在时刻1或者2买进100 股股票A,具体买入的时刻按如下方式确定: 如果时刻1的股价比当前股价低至少1元,就在时刻1买进,否则,他不论价格在时刻2买进.于是,股票买入时刻是依赖于状态的,它由下式给出:
(4.5)
读者不难验证,上面的随机变量?满足(4.1),故它是一个?Fi?i?0停时.
我们对停时再作一些讨论。由于
i?2,???1,?2?(?)???1,???3,?4???i?????j?1?j?????i?1?????i?,0?i?k (4.6)
因此,(4.1)等价于
???i??????|?????i??Fi,?0?i?k, (4.7)
k由此进一步可知随机变量?是一个?Fi?i?0-停时,当且仅当
???iIi?1Ai,Ai????i??Fi,1?i?k, (4.8)
由此不难看到任何常数必为停时以及停时对域流?Fi?i?0-的依赖关系.
2.上(下)鞅
现在我们再引入下述的重要概念，它是定义1.7 的推广。
定义4.3 假定随机过程Y???是?Fi?i?0-适应的,并且具有下述性质:
E??Y?j?|Fi???Y?i?,?0?i?j?k, (4.9)
则称之为一个P-上鞅.如果(4.9)中的不等式换成“?”,则称为一个P -下鞅.
粗略地说,假如Y???是一个P-上鞍,则它在某种平均意义下是单调下降的;假如Y???是一个P -下鞅,则它在某种平均意义下是单调上升的;而假如Y???是一个P-鞅,则它在某种平均意义下是保持“常值”的.容易知道,任何一个P-鞍必定是一个P-上鞅.同时也是一个P -下鞅,但是,反之未必然(见复习与思考题11).另外,我们也可么看到,Y???是一个P-上鞅,当且仅当Y???是一个P-下鞅.由于(4.9)中条件数学期望是依赖于概率测度的,因此,P-上鞅是依赖于概率测度P的.当概率测度改变后(即便改成一个等价的概率测度),上鞅是有可能改变的.换句话说,如果P和Q 是两个概率测度,P-上鞅未必是Q-上鞅,即便P和Q 等价.另外,值得注意的是,由(4.9)可见，上鞅
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还依赖于域流?Fi?i?0,当域流改变时,上鞅有可能变化.不过,在本章中,域流是给定的,因此,在名称中省略?Fi?i?0不会引起混淆.
下面的结果是很有用的.
命题4.4 设X?????X?i?|0?i?k?为一个P-上鞅. (1) 任何?F?Xjj?i?0-可料过程a?????a?i?|0?i?k?,
X?l?1???,0?j?k?j???a?l???X?l??l?1, (4.10)
????是一个P-上鞅.进一步,如果X???是一个P-鞅,则不必假定a???的非如果a???是非负的,则X????必是一个P-鞅. 负性,X??i,k?,j?X?j???(?X?j???|j?i,i?1,?,k?)是[i,k]上的一个P-上鞅,(2) 对任何??T此处,j???min?j,??;当X???是一个P-鞅时,j?X?j???是[i,k ]上的一个P-鞅.
??i,j?,???成立 (3) 对任何?,??TE??X???|F????X???, (4.11)
此处，
F???A?F|A????j??Fj,?0?j?k? (4.12)
当X???是一个P-鞅时, (4.11)中等号成立。
证明: 我们只证明鞅的情形,上鞅的情形留作习题.
??j??0?j?k?是F-可侧的,当对任何0?j?k?1,我们有 (1) 显然,Xj?E?X??j?1?|Fj?j?a?j?1??X?j?1??X?j??|F???E?Xj?????????j??a?j?1?E?X?j?1??X?j?|F? ?Xj??
??X?j??a?j?1??X?j??X?j????X?j?, (4.13)
????是一个P-鞅. 所以可得X??i,k????为?F?-停时|i???k?, (2) 对任何??Tii?0j??jX?j????iX?i???l?i?1??X?l??X?l?1????X?i???l?i?1I???l???X?l??X?l?1???， (4.14)
此处,约定?????0.由于
l?i?1???j?????j?????j?1??Fccj?1, (4.15)
? ?, a?0;??c?1,?????j?;??|I??a???j,0?a?1;则 由 I???j??????????????j?c???0,?????j?. ?, 1?a.?????|I???j?????a??Fj?1,
j因此,j?I???j??I???j?|j?i,i?1,?,k?是一个?F?j?i可料过程.这样,由已经证明的(1)知,
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j?X?j???是[i,k]上的一个P-鞅.
.
j(3) ① F?是一个域.事实上,对A,B?F?,有?A?B?????j??Fj;对A?F?,有
A????j?=???j???A????j???Fcj② F??F?. 事实上,当j?i时,对A?F?,有
?j?A????j??A???????l?????j?????l?i????A???l?i?l??????j??Fk?j.
?F③ X???是F?-可测的.事实上,
??X????a???X??????l?i?I???l?X?l??a??F?k,且
?X????a?????j??I???j?X??j??a?????j??Fj.
④ E?IX??X??????0. ?X???|F????X????对?A?F?,有E??A????对任何A?F?和0?j?k,
A?j??A????j?????j????A????j???????j??Fcj, (4.16)
显然,
kA??A?j?,A?j??A?j???,j12j?01?j2,0?j1,j2?k. (4.16.1)
当0?????1,由(4.16.1)知
E?IA?X???k???X????????X?????,???X?????,???P???
kA?j???A?I???X?j?1,???X?j,???P?????E??j?0??A?j?j?0?0, (4.17) ?E?X?j?1?F??X?j????j对于一般情形.我们定义
?j??????j?,0?j?k, (4.18)
则由于
??j?l?????l?????j?l??Fl,?l?0,
(4.19)
因此,每个?j均是停时.另一方面,由(4.18),
?????0??1??2????k?????0??j?1??j?1,0?j?k (4.20)
于是,由(4.17)可得
?k?1E?IA?X????X??????E?IA?X?????j?0?j?1??X????jj?? ??I?X????X??????0, (4.21) ?E???Aj?1j?0k?1这导致了等号成立形式的(4.11).▲
二、美式未定权益的定价和复制问题
现在,我们引入下述定义.
定义4.5 一份美式未定权益是一份合同,其持有者具有下述权利:如果他在时刻i购得,则
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??i,k?执行期权而获得收益????,其中,????为一个?F?-适应的随机他可以在任何时刻??Tii?0过程,t=k 称为该未定权益的到期时刻,?称为该未定权益的执行时刻.
??i,k?是一个停时,它表明在不同的状态下,具体执行时刻可上述定义中的执行时刻??T以不同的.为了方便起见,我们将上述的美式未定权益等同于????.
美式未定权益的定价和复制问题:
10 美式未定权益????在时刻i 被买卖时,其公平价格Y?i?应该是多少?
20 未定权益出售者是如何复制该未定权益的? 现在,让我们来作一些分析.
假如(美式)未定权益出售者在时刻i 以价格y 出售一份该种未定权益后,将所得款项y 投资于市场(可么想象,一般而言,时刻i 的价格y 是依赖于时刻i 所发生的状态的,所以,我们有理由假定y 是Fi-可测的.).设Z???为一个适当选取的定义于?i,k?的自融资策略,记相应的财富过程为V??,i,y,Z?,则V?i,i,y,Z??y.未定权益出售者期望通过自融资策略投资(在时刻i 出售未定权益得到的)初始财富y 所获得的财富能够冲抵由于未定权益持有者在任何时刻j??i,i?1,?,k?可能执行未定权益而使他(未定权益出售者)必须兑现的支付.因此,下式应该成立:
?j,i,y,Z????j?,i?j?k, (4.22) 由于Z???是自融资的,所以,类似于(1.31),我们有
???TV?j,i,y,Z??V?j?1,i,y,Z???S?j?z?j?, (4.25)
V于是,由递推可得(注意约定?????0)
l?i?1iV???yj,i,y,Z??B?j???Bi????j?l?i?1?S?T???l?z?l??,i?j?k??, (4.26)
综合(4.22)和(4.26)可知,未定权益的出售者期望选择自融资策略Z???使得
yB?i?j??l?i?1?S?T?l?z?l????j?B?j?????j?, (4.27)
由命题1.9,我们知道,这也等价于选择?Fi?i?0-可料过程z???使得(4.27)成立.由于未定权益持有者可能执行未定权益的时刻一般是依赖于所发生的状态(或事件),所似,(4.27)还需要加强为:
yB?i????l?i?1j?S?T?l?z?l?????????i,k? (4.28) ?????,???TB???我们假定市场无套利,于是存在一个等价鞅测度Q,这样,如果记
??j???l?i?1i?S?T?l?z?l?, (4.29)
??i,k?,有 (回忆约定????=0)则由命题4.4 (1),它是一个Q-鞅.再由命题4.4 (3),对任何的??Tl?i?1???T?EQ???S?l?z?l?Fi??EQ?????Fi????i??0, (4.30) ???l?i?1?因此,在(4.28)两边取EQ??|Fi?可得
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???i,k?, (4.31) ?EQ??|Fi?,???T??B?i?y从“公平”的角度讲,买主希望价格越低越好.因此,我们有理由引入下述的定义.
美式未定权益的定价和复制概念
定义4.6 假定多时段市场中存在惟一的等价鞅测度Q,
(1) 则美式未定权益????在时刻i=0,1,2,?,k 的最低卖出价格定义为:
??Y?i??max?EQ???B?i?????B??????????i,k??,0?i?kFi???T?????, (4.32)
称Y???为美式未定权益????的一个最低卖出价格过程;价格Y?i?称为是公平的;
??i,k?,使得 (2) 假如存在自融资策略Z????Z??,i?(它是依赖于i 的)和一个停时???TV??,Z,Y?i???????, (4.33)
此时,我们Y?i?称为未定权益????在时刻i 的一个公平价格;
(3)假如对每个0?i?k,公平价格Y???均存在,则称Y???为美式未定权益????的一个公平价格过程,此时,未定权益????称为是可复制的,Z??,i?称为它的一个复制策略.
按照我们的记号, (4.32)等价于下述式子:
Y??i??Y?i???maxEQ?????B?i????Fi????i,k?,0?i?k, (4.34) ?T?公平价格Y??i?的定价分析
下面,让我们来证明一个有用的结果.
命题4.7 设多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q ,则由(4.34)定义的随机过程Y????满足下述关系:
? ???k?, i?k;??Y?i??? ????max??i?,EQY?i?1?Fi,0?i?k?1.?????? (4.35)
证明: 首先,对于 i?k, (4.35)是显然的.
??i,k?,我们有 今对???TEQ???????Fi?????i??Fi?I???i????????i??I???i?EQ????i?1??Fi??
?i1? ?I???i????i??I???i?EQ?EQ??????i?1??F????F?i
????Y?i?1?Fi? ?I???i????i??I???i?EQ????3.34??Y?i??1Fi?, (4.36) ?max???i?E,Q???????i?1,k? (因为i?1????i?1??k,????i?1??j?????j?? 其中???i?1??max??,i?1??T??i?1??j??FY?j,0?j?k).从(4.36)可以推出
?Y?i?1?Fi??. (4.37) ?i??max????i?,EQ???第 30 页 共 40 页