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数学金融学第七章多时段市场问题
???v?Eu?B?k????Bi?????????max?Ez?????k?l?i?1?S????T???z?l???Fi?
?????????v?u?B?k???????B?i??k?l?i?1?S???T?????z?l???Fi?????????. (5.4)
我们称U?i,v?为最优值函数.值得注意的是,在我们的条件下,i?U?i,v?是一个?Fi?i?0-适应的随机过程.容易证明:对任何?Fi?i?0-适应的随机过程V???,i?U?i,V?i??也是?Fi?i?0-适应
的.
?是F的生成元集,由 我们指出,如果?Aij|1?j?mi??FiiE??|Fi??1.17??1???E??IAjji?P?A??j?1i?mi??? ???知
E?uV?k,i,v,Z?Fi??maxE?u?V?k,i,v,Z??Fi??U?i,v? ????Z????1???E?IAjuV?k,i,v,Zj?P?Ai??ij?1?mi???????????max??Z????Aij?mi?1??E?IAju?V?k,i,v,Z??j?P?Ai??ij?1????????????????
?E?IAjuV?k,i,v,Z?i??max?E?I???????Z?u?V?k,i,v,Z???,1?j?mi. (5.5)
??从(5.1)容易看到,对于j?j,?Z?l,??|??Aij?对V?l,i,v,Z????,??Aij,没有影响,因此,(5.5)中的mi个关系式是解耦的(即,互相独立的).
?是F的生成元集,则由于v是F-可测的,故v在每个Aj上另外, 如果?Aij|1?j?mi??Fiiii为常数(记作vj),从而,
U?i,v???U?i,v?I, (5.6)
jj?1Aijmi这表明,如果U?i,v?对于v?R完全确定当且仅当对任何Fi-可测的v完全确定.
3. U?i,v?的递推公式.
下述结果给出了U?i,v?的递推公式.
定理5.2 对任何的0?i?j?k和Fi-可测的随机变量v,下述公式成立:
U?i,v??maxE?U?Z?????j,V?j,i,v,Z??F?5.2?i???, (5.7)
?j,i,v,Z?,Z??Fi??证明: 对任何?i,k?上的自融资策略过程Z???,我们有
E?u?V?k,i,v,Z???Fi???E?uV?k,j,V???E?E?uV?k,j,V?????j,i,v,Z?,Z??F?5.7?ij?F??i??
i?5.3??E?U??j,V?j,i,v,Z??F??maxE?U??Z???, (5.8) ?j,V?j,i,v,Z??F??第 36 页 共 40 页
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由Z???的任意性及(5.3)可得
U?i,v??maxE?U?Z?????j,V?j,i,v,Z??Fi???, (5.9)
反之,在我们的框架下,自融资策略过程的个数是有限的,因此,对任何[i, j]上的自融资策略Z???,以V?j,i,v,Z?作为时刻j的初始财富,一定存在[j, k]上的自融资策略Z???(依赖于
V?j,i,v,Z?)使得 U?j,V?j,i,v,Z???5.3??E?uV?k,j,V???j,i,v,Z?,Z??Fj?, (5.10) ??F? ?i??于是,由条件数学期望的性质以及(5.2)
E?U??j,V?j,i,v,Z??Fi??E?E?uV?k,j,V??????j,i,v,Z?,Z??Fj?E?uV?k,j,V???j,i,v,Z?,Z???Fi??E?uVk,i,v,Z????5.2?????Fi??U?i,v?, (5.11) ???5.3???Z?l?,i?l?j;?其中,Z?l???.由Z???的任意性可得
??Z?l?,j?l?kU?i,v??maxE?U?Z?????j,V?j,i,v,Z??Fi???, (5.11.1)
综合(5.9)和(5.11.1),我们得到(5.7).▲
关系式(5.7)称为关于U?i,v?的Bellmon 动态规划方程,也称Bellmon 最优性原理.让我们来看一下它的含义.假定存在一个策略过程Z???满足:
U?i,v??E?uV?k,j,v,Z?Fi?,
???? (5.12)
则对任何i?j?k均有
E?uVk,j,V???5.7????j,i,v,Z?,Z??Fij??E?uVk,i,v,Z???????Fi??U?i,v?
?j?E?U??j,V?j,i,v,Z??F??E?E???i?uVk,j,V???, ?????j,i,v,Z?,Z??F?F?i????
?E?uVk,j,V?????j,i,v,Z?,Z??F (5.13)
?F?. (5.14)
?i???则
E?U??j,V?j,i,v,Z??Fi??E?E?uVk,j,V????????j,i,v,Z?,Z??Fj上式粗略地表明,当Z???是对应于(i, v)的最优策略过程时,它限制在?j,j?1,?,k?上是对应于?j,V?j,i,v,Z??的最优策略过程.也就是说: 整体最优必定局部最优,这就是Bellman 的动态规划方法的基本思想.
利用(5.7)和关于单时段市场最优投资问题的求解方式,我们就可以来求解问题5.1了.事实上,首先,我们在(5.7)中取 i= k 可得
U?k,v??u?v?,?v?R, (5.15) 现在,让我们求出U?k?1,v??u?v?,v?R,由(5.7),我们有
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U?k?1,v??maxE?u?V?k,k?1,v,Z??F?Z????k?1???, (5.16)
?, (5.17)
j?上面(5.16)两边均是Fk?1-可测的,因此,假如Fk?1的基本事件集合为F??Ak?1|1?j?mk?1?, k?1则(5.16)两边在每个Akj?1上均是常数,所以, (5.16)可以写成
jU?k?1,v??Ak?1??maxE?u?V?k,k?1,v,Z??F?Z????k?1??Akj?1??其中,对每个1?j?mk?1,
E?u?V?k,k?1,v,Z??F??1.17?1j?A?u?V?k,k?1,v,Z,???P???, (5.18) ?k?1??k?1?jP?Ak?1???Akj?1我们注意到,在时刻k-1,
v?z0?Ajk?1?B?k?1,A???z?A?S?k?1,A?, (5.19)
jk?1ijk?1ijk?1i?1jk?1ln所以,在时刻k有
V?k,k?1,v,Z,???z0?A?B?k,A???z?A?S?k,A?A??，
jk?1ijk?1lijk?1i?1n??A?A?,1?l?ljk?1jk?1, (5.20) ， (5.21)
此处，
jjjB?k,Ak?1??B?k?1,Ak?1??1?r?k?1,Ak?1????它是Fk?1-可测的.而?Al?Akj?1?|1?l?lkj?1?是Akj?1的后续事件全体,从而,我们得到mk?1个单时段市场的最优投资问题: 对每个1?j?mk?1,记
??j?Al?Aj?|1?l?lj;k?1k?1k?1??jlj?PA?Ak?1? 1?l?lk?1, (5.22) jlj?Pk?1A?Ak?1??.jPA??k?1????????而
E?u?V?k,k?1,v,Z??F??1P?Alk?1j?Ak?1??jk?1??5.18??1jP?Ak?1???Akj?1?u?V?k,k?1,v,Z,???P???
jk?1??lj??Ak?1?jl?A?Ak?1?ljk?1u?V?k,k?1,v,Z,???P???
?5.20???u?V?k,k?1,v,Z,A?A???ljk?1l?1PA??A???Eljk?1P?ATjk?1?Pk?1j?u?V?k,k?1,v,Z?????, (5.23)
因此,利用第6章的结果,在适当的条件下,我们可以求得最优解
Z?k,Ajk?1???z?k,A?,z?k,A?0jk?1jk?1?T,1?j?mk?1,
(5.24)
它满足:
jU?k?1,v??Ak?1??E?uV?k,k?1,v,Z?F?????Aj??Ej?uV?k,k?1,v,Z??k?1k?1Pk?1?????
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?EPjn????jjjljuzABk,A?zASk,AA?k?1???, (5.25) ?i?k?1?k?1???0?k?1??i?1????k?1??重复上述过程,我们就可以得到
U?i,v??Ai?,0?i?k,v?R,1?j?mi,
j (5.26)
以及
Z?i,Aji?1???z?i,A?,z?i,A?0ji?1ji?1T?T?R?R,1?i?k?1,1?j?mi?1,
n (5.27)
我们将上述结果归纳成下述定理.
定理5.3 问题5.1的最优投资策略过程由(5.27)给出,最优值函数由(5.26)给出.
二、最优投资消费问题
现在,我们引入另外一类问题.为此,先引人下述定义。
定义5.4 称一个非负的?Fi?i?0-适应过程C???为一个消费过程,此处,C?i?表示时刻i 的消费额.如果Z???为一个投资策略过程,C???为一个消费过程,则(Z???,C???)称为一个投资消费计划.
现在,我们来探讨一下投资消费计划(Z???,C???)的自融资性,假定在时刻0的初始财富为v.按直观的定义,所谓自融资即在整个考虑的时间段上,除了初始财富,没有资金的注入和抽走.对每个i?0,1,2,?,k,我们记时刻i 交易和消费前的财富为V?i?0,v,Z,C?,记交易和消费后的财富为V?i?0,v,Z,C?,则
?V???V??V???V?0?0,v,Z,C??0;?0?0,v,Z,C??V?0?0,v,Z,C??C?0???1?0,v,Z,C??B?1?z0?1??S?1?z?1?;B?1?z0?2??S?1?z?2?.TTB?0?z0?1??S?0?z?1?;T (5.28)
?1?0,v,Z,C??V?1?0,v,Z,C??C?1??因此,一般地,我们有
?V?i?0,v,Z,C??B?i?z?i??S?i?Tz?i?;0?T??V?i?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C??C?i??B?i?z0?i?1??S?i?z?i?1?; ?1?i?k.?? (5.29)
于是,我们有下述定义,
定义5.5 投资消费计划(Z???,C???)是自融资的,如果(5.29)成立.
由(5.29)可知，
V?i?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C??C?i?,1?i?k, (5.30)
并且
V?i?1?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C????B?i?1??B?i???z0?i?1????S?i?1??S?i???z?i?1?
??B?i?1?z0?i?1???S?i?1?z?i?1?TT, (5.31)
这表明,对于任何自融资投资消费计划而言,在任何给定时刻i 财富的变动仅仅是由于消费C?i?的存在,而在任何两个相邻时刻之间财富的变化仅仅是由于证券价格的变动.综合(5.30)和(5.31),我们可得
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?V?i?1?0,v,Z,C??V?i?1?0,v,Z,C??V?i?0,v,Z,C?
??C?i???B?i?1?z0?i?1???S?i?1?z?i?1?,
T (5.32)
我们记
V??i?1?0,v,Z,C???V?i?1?0,v,Z,C?B?i?T,C??i??C?i?B?i?, (5.33)
则再由(5.29)可得
z0?i??VV?V?V??i?0,v,Z,C??S??i?z?i??V??i?0,v,Z,C??S??i?TTz?i??C??i?, (5.34)
另一方面,由(5.33)和(5.29)
??i?1?0,v,Z,C??V??i?0,v,Z,C???S??i?1??i?0,v,Z,C??C??i???S??i?1?i?ij?i0j?i0z?i?1?
?Tz?i?1? j?1?z?j?1?,
T?i0?0,v,Z,C???C?j????S??T (5.35)
从而,回到(5.34)可得
z0?i??V??i?0,v,Z,C??S??i?z?i??C??i?i?1??i?1,
T ?V?i0?0,v,Z,C???C?j????S??j?1?z?j?1??S??i?z?i??C??i?
j?i0i?1??j?i0i?2TT ?V?i0?0,v,Z,C???C?j????S??j?1?z?j?1?
j?i0j?i0?S??i?1?i0?1j?i0Tz?i??C??i?,i0?1?i?k, (5.36)
这里,我们总约定?????0.由(5.36),我们可得类似于命题1.9的结果。
命题5.6 设0?i0?i1?k; z???为任何一个取值于Rn的?Fi?i?0可料过程,C???为任何一个消费过程,V0为一个Fi-可测的随机变量,则存在取值于R的?Fi?i?0-可料过程z0???,使得
0定义Z?????z0???,z????后, (Z???,C???)成为一个?i0,i1?上的自融资投资消费计划,且满足
V0????V?i0?0,Z,C,??,???, (5.37)
T有了上述结果后,我们可以来讨论最优投资消费问题了.为此,对于每一个0?i?k?1,设u?i,??:R?R为一个效用函数.然后令
J?i,v,Z,C??????E??u?j,C?j????E?u?k?1,V?k,v,Z,C???, (5.38)
j?ik上面(5.38)右端的和式表明每个时刻消费带来的效用,而最后一项表明剩余财富带来的效用.
我们的最优投资消费问题可以如下叙述
问题5.7 对任何的0?i?k和v?R,寻找自融资投资消费计划(Z,C)使得(5.38)极大化. 然后,我们可以参照求解问题5.1 的思想方法,用Bellman动态规划方法研究问题5.7,我们将细节留给读者.
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