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数学金融学第七章多时段市场问题
??i?1,k?是一个有限集,由(4.34)可知,存在???T??i?1,k??T??i,k?,0?i?k?1,使反之,由于T得
Y??i?1???EQ??????F?i?1?, ? (4.38)
于是,两边取E??|Fi?,可得
????EQ?Y?i?1?Fi??EQ?EQ??????Fi?1?Fi??EQ??????Fi??Y?i?, ???????? (4.39)
而(4.34)本身又导致
Y??i?????i?,0?i?k, (4.40)
综合(4.37), (4.39)和(4.40),我们得到(4.35).▲
定义4.8 对于?Fi?i?0适应的随机过程?????,按(4.34)方式定义的随机过程Y????称作?????的Snell 包络.
我们有下述关于Snell 包络一般的结果.
引理4.9 假定?????为一个?Fi?i?0适应的随机过程, Y????为其Snell包络.
(1) 则Y????是满足(4.40)的最小的Q-上鞅.
(2) 令??i??min?j?i|Y?j????j??,0?i?k, (4.41) 则, ① 每个??i?均是停时;
② j?Y??j???i??(?Y??j???i??j?i,i?1,?,k?)是[i,k]上的一个Q-鞅;
???i,k??E??????i??F?. (4.42) ????Fi???T③ Y??i??maxEQ?Q?i???证明: (1) 由(4.35)知, ??Y?i??EQ?Y?i?1?Fi?,0?i?k?1, (4.43) ????所以,Y????是一个Q-上鞅.假如Y????为任何一个满足(4.40)的Q-上鞅,则有
??k?????k??Y??k?, (4.44) Y作归纳假定
??i??Y??i?, (4.45) Y则由Y????的Q-上鞅性质
??i?1??E?Y??i?F??E?Y??i?F?, (4.46) YQi?1Q?i?1???再由于Y????满足(4. 40),故
??i?1??max???i?1?,E?Y??i?F?YQi?1?????4.35??Y??i?1?, (4.47)
得证Y????的最小性.
(2) ① 由Y??k?????k?及(4.41)知,??i???i,i?1,?,k?的定义是明确的.又Y??j?,???j?
?0?j?k?关于Fj可测,则Y??j?????j?关于Fj可测,则
? ?, l?i;????i??l???l?1Y?j???j?0?Y?l???l?0,l?i.????i??l??Fl,
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数学金融学第七章多时段市场问题
??i,k?. 得证??i??Tj???i?② Y??j???i???Y?i????l?i?1?Y??l?1??Y??l?? ??j?Y??i???l?i?1??I???i??l??Yl?1?Y???l????, (4.48)
故, Y??j???i???j??i,k??关于Fj可测. 由于
???i??j?????i??j?1??Fj, (4.49)
因此,j?I???i??j?是?Fi?i?0可料的又是非负的.于是,由命题4.4(2)可以得到,j?Y??j???i??是一个Q-上鞅,为了证明它是一个Q-鞅.由(4.48)知
Y?c??j?1????i???Y?j???i????4.48????I???i??j?1??Yj?1?Y???j????, (4.50)
由(4.41)、(4.35)知
Y??j???EQ?Y?j?1?Fj?,??????i??j?1?, ?? (4.51)
由(4.50)和(4.51)知
Y???j?1????i???Y?j???i???I?????i?j?1??Y??j?1??E?Y??j?1?F??, (4.52) Q?j???????EQ?Y??j?1????i??Fj??Y?j???i???EQ?Y??j?1????i???Y?j???i??Fj? ???????I???i??j?1?EQ?Y?j?1??EQ?Y?j?1?Fj?Fj? ???????I???i??j?1?EQ?Y?j?1?Fj??EQ?EQ?Y?j?1?Fj?Fj??0????????, (4.53)
所以,j?Y??j???i??(?Y??j???i??j?i,i?1,?,k?)是[i,k]上的一个Q-鞅.
??i,k?,由于已经证明Y????是一个Q-上鞅,故由命题4.4(2)知, ③ 对任何??Tj?YY???j???i??也是一个Q-上鞅.于是由(4.40)知,
??i??4.48??Y?i????EQ?Y???k???Fi??②?EQ?Y?????Fi???4.40???EQ?????, (4.54) ?Fi??
则,
?EQ??????????Fi??Y?i??Y?i???i???EQ?Y?k???i??Fi??EQ?Y???i??Fi???????4.41????i,k?, ?EQ?????i??Fi?,???T?? (4.55)
??i,k?,得证(4.42).▲ 又??i??T??i,k?,以及F 引理4.10 设多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q,则对任何停时??T?((4.12))可测的随机变量?,存在自融资策略过程Z???使得
?B??????EQ?B??????Fi??????l?i?1?S??l?Tz?l?,?0?i????1??0, (4.56)
此处,???1??0?max???1,0?.
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数学金融学第七章多时段市场问题
证明: 1) 设[0, k]上的欧式未定权益为
B?k??B?????i,k?, 随机变量?关于F-可测. ,其中停时??T?由于市场是完备的,因此,该欧式未定权益是可复制的,从而,存在一个自融资策略过程
Z????z0???,z????T?T,使得
?V??k,Z??V??k,Z??B??jB?k??. (4.57)
2) 另一方面,类似于(4.26),我们有
V??j,Z??V?i,Z????l?i?1j?S????Tz?l?,i?j?k, (4.58)
j因此,由z???的?F?j?i?-可料性,利用命题4.4(1)可得X?j???l?i?1?S????Tz?l?是一个Q-鞅
(S????是一个Q-鞅),则
???EQ?V?j?1,Z?Fj??EQ?V?i,Z?Fj??EQ?X??????j?1?Fj???V??i,Z??X??j??V??j,Z?,
故,j?V??j,Z?是一个Q-鞅.于是,由(4.57)知,
V?i,Z??EQ?V???3) 由B???的?Fi?i?0-可料性知,
????k,Z?Fi??EQ?B????1??Fi???. (4.59)
1B???B???也是?Fi?i?0-可料的,故
是一个Q-鞅,于是由定理
4.4(3)知?关于F?-可测和定理4.4(3)知,
EQ?V??由j?V???B????1??k,ZF??EF?, ???????B?????B??????????i,k??????,那么,由定理4.4(3)知 j,Z?是一个Q-鞅,取??k?T?4.58?????F??E???B????????EQ?V?k,Z?F???V??,Z??V?i,Z?????l?i?1?S??l?Tz?l?
?4.59????EQ??B?????Fi??????l?i?1?S??l?Tz?l?, (4.60)
我们就得到(4.56).▲
三. 美式未定权益的定价和复制的步骤
假定多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q,设????为?i,k?上的一个美式未定权益。 (1) 它的公平价格过程由下式给出(与(4.32)相同):
??B?i?????Y?i??max?EQ??B???????????i,k??,0?i?kFi???T?????, (4.61)
(2) 对任何0?i?k,定义停时??i?如下(与(4.41)相同等价):
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??i??min?j?i|Y?j????j??,0?i?k; (4.62)
(3) 寻找自融资策略过程Z????Z??,i?复制欧未定权益我们有(注意(4.62)和(4.42))
Y?i??4.34?B?k?????i??B???i??,此时,对于0?i?k,
???????B?i?maxEQ?Fi??B?i?EQ??i,k???TB????????????i???Fi?; (4.63) ?B??i???????(4) 再由Y??i??V??i,Z?、上式和引理4.10知
V????i?,Z??Y?i??????i??S??l?Tz?l?
??i?l?i?1?EQ???????i??Fi????l?i?1?S????T????z?l????i????????i??. (4.64)
上面结果说明,在时刻i ,美式未定权益的公平价格为????,相应的复制策略为Z??,i?.值得注意,复制策略是依赖于时刻i 的,这与欧式未定权益有很大的差异.由(4.62)定义的停时是持有时刻i 购入该种未定权益后的最优执行时刻.
命题4.11 假如多时段市场存在惟一的等价鞅测度Q,设????为一个美式未定权益,且
????B???是一个Q-下鞅,则该美式未定权益的价格与欧式未定权益 证明: 由于
????B?????k?B?k?的价格相同.
是一个Q-下鞅,所以
??EQ???Fi?F????k?????k???F??Fi?EQ?Fi??BkBk?????????????????k??Fi??Bk???????????????k??,?4.11?EQ?Fi??EQB???????, (4.65)
则
Y?i??4.32????????B?i?maxEQ?Fi??B?i?EQ??i,k???TB???????, (4.66)
上式右端恰好是欧式未定权益的价格??k?.▲
四. 美式看涨期权
我们来看一个具体情况.给定一个多时段市场,其利率为严格正的,考虑一个美式看涨期权,令
??i????S1?i??q??,0?i?k, (4.67)
?考察下面推导;对任何的0?i?j?k,
??????S?j?????j??S1?j?q?q?1??EQ?Fi??EQ??Fi?EQ???Fi???????BjB?j?B?j????B?j?B?j????????????????
?EQ?S??1??1??j?Fi?qEQ?Fi???B?j????B?i??B?j??S1?i???qB?i?, (4.68)
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数学金融学第七章多时段市场问题
由于上式左端总是非负的,因此得到
???j???S1?i???i?q?,0?i?j?k, (4.69) EQ?Fi????????BjBiB?i??B?i???????????所以,
??S1?i??q??Y?????B????是一个Q-下鞅.因而由命题4.11可得该美式未定权益的价格与欧式未定权益
是一样的.进一步,(4.66)和(4.69)表明
??EQ???k?Fi????i?,0?i?k???i??, (4.70)
因此,由(4.62)可得
??i??k,0?i?k, (4.71) 这意味着在上述情形下,美式看涨期权不应提前执行.这是我们以前用不同方法曾经得到过的一个结果.
§7.5 最优投资消费问题
在这一节中,我们讨论多时段市场中的最优投资消费问题.在第6 章中,我们曾经讨论过单时段市场中的最优投资和消费问题,本节中将主要叙述处理多时段问题的动态规划方法.我们仍然基于本章第1节引人的多时段市场.
一、最优投资问题
1. 基本假设
取定一个时刻i?0,我们假定初始资产v是Fi-可测的,任取?i,k?上的自融资策略过程
Z????z0???,z???V?T?T.相应的财富过程为(注意(4.26))
T?j,i,v,Z??B?j?z0?j??S?j??vz?j??B?j????B?j?j?l?i?1?S??l?T?z?l??,i?j?k?. (5.1)
下面的关系式是显然的,且很重要.
V?l,i,v,Z??V?l,j,V?j,i,v,Z?,Z?,0?i?j?l?k, (5.2)
从(5.1)式中第二个等式来说, (5.2)右端中第一个Z???为?i?1,j?上的自融资策略过程,第 二个Z???为?j?1,l?上的自融资策略过程.(5.2)所示的关系通常称为动力系统的半群性质.
2. 问题
现在设u:R?R为一个效用函数,我们考虑下述问题.
问题5.1 对于任何的i??0,1,2,?,k?和Fi-可测的随机变量v,寻找?i,k?上的自融资策略Z???过程,使得
E?uV?k,i,v,Z?Fi??maxE?u?V?k,i,v,Z??Fi??U?i,v?, (5.3) ????Z???????这是个最优投资问题:我们希望在当前时刻0,对任何一个将来时刻i 都能够找到一个最优投资策略以极大化终端时刻k 财富的期望效用.由(5.1)可知,上述问题等价于寻找一个?Fi?i?0-可料过程z???,使得
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