《线性代数》模拟试卷（一）
一. 一. 填空题(20/5)
1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.
2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.
3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.
4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.
?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.
二. 二. 选择填空(20/5)
?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵
C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵
?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1
3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.
?时,此方程组一定有非零解.A.n?mC.n?m
t??A.0B.系数矩阵的秩?mD.系数矩阵的秩?min{n,m}
2224.二次型f(x1,x2,x3)?x1?6x1x2?4x1x3?x2?2x2x3?tx3,当?时,其秩为2.B.2C.78D.1
5.设A,B均是n阶可逆方阵,且A相似于B,则下面说法中正确的是?A.AB?BAB.存在n阶可逆方阵P,使AP?PBD.A?1?B?1C.存在n阶方阵Q,使Q?AQ?B三. 三. 计算题(24/3)
?
1.求下列行列式的值:122?2222?2223?2?????222?n
0?4??0?31?2.已知AX?B?X,其中A???2?1?7?,B??60?,求X.???????0?13???12?1??
3.求下列向量组的秩和一个极大线性无关组:?1?[1,3,6,2],?2?[2,1,2,?1],?3?[3,5,10,2],?4?[?2,1,2,3]. 四. (12分)
?取何值时,线性方程组??2x1?x2?x3??2??x1?2x2?x3???x?x?2x??223?1有解?并求其通解.
五. (16分)
222求正交变换x?Py,将二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3化为标准二次型.并判断其是否为正定或负定二次型.
六. (8分)
设A是n阶方阵,B是n?m矩阵,证明:若秩(B)?n,且AB?0,则A?0.
《线性代数》模拟试卷（一）(答案)
一、填空题(20/5)
1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____16________.
2.A(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??___a11b11?a12b21?a13b31___________.4.若A100?0,则(E?A)?1?___E?A?A2???A99__________.
3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性__相___关.
?1?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为___4______,?A2??3?有一特征值为____34______. 二、选择填空(20/5)
1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?B?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵
C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1???0B??A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1A?.C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?13.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件?
D?时,此方程组一定有非零解.A.n?mC.n?mt??A.0CB.系数矩阵的秩?mD.系数矩阵的秩?min{n,m}
2224.二次型f(x1,x2,x3)?x1?6x1x2?4x1x3?x2?2x2x3?tx3,当?时,其秩为2.B.2C.7D.18
5.设A,B均是n阶可逆方阵,且A相似于B,则下面说法中正确的是?BA.AB?BAB.存在n阶可逆方阵P,使AP?PBD.A?1?B?1C.存在n阶方阵Q,使Q?AQ?B
三、计算题(24/3)
?
1.求下列行列式的值:122?2222?2223?2?????200?200????????????(6分）???????????(3分）222?n122?100?101?????100?n?2222?010???001?????000?n?2??2(n?2)!???????????(8分）
0?4??0?31??,B??60?,求X.2.已知AX?B?X,其中A???2?1?7???????0?13???12?1???104??,?????????解:由AX?B?X?(E?A)X?B,(E?A)??227（4分）????01?2??|E?A|??3?0?????????（6分）?11?48?1?,E?A可逆,且(E?A)?1???42?1?3????21?2??3??351??1051????4?1???????????X?(E?A)?1B???12?3（8分）????3???240?????80??
3.求下列向量组的秩和一个极大线性无关组:?1?[1,3,6,2],?2?[2,1,2,?1],?3?[3,5,10,2],?4?[?2,1,2,3].??2??3??4????????????解:A???1（2分）3?2??123?2??12?315??0?5?47?1???,???????????????（6分）?62102??0000?????2?1230000?????该向量组的秩为2,可取?1,?2为一个极大线性无关组??????????（8分）. 四. (12分)
?取何值时,线性方程组??2x1?x2?x3??2??x1?2x2?x3???x?x?2x??223?1有解?并求其通解.解:对该方程组的增广矩阵进行行的初等变换:
?11?21?2??2???21???2?B??1?21???0?33???????22?03?3?2?2???1?2???1????11?2??2??????0?33???2?,?000(??2)(??1)????当???2或??1时,该方程组有解?????????（6分）.?2??1???k?1??????????当???2时:通解为x??2（9分）???????0???1???1??1???k?1?.?????????当??1时:通解为x??0（12分）???????0???1??