?311、已知312?0,则??____.321?2-1?22、已知A??.?-33??，f(x)?x?5x?3,则f(A)?________?????3、n维向量组?1，?2，...，?s(2?s?n)线性无关的充分必要条件是_______.4、若n元非齐次线性方程组AX?b有解，其中A为（n?1)?n矩阵，则Ab?___.5、设方阵A的每一行元素之和等于6，则???是A的特征值，并且_______是对应的特征向量。二、选择题(每小题3分,共15分)
1、设A为n阶方阵，且A的行列式A?a?0，而A*为A的伴随矩阵，则A*等于（）1(A) a ; (B) ;(C)an?1;(D)ana2、设A、B、C为n阶矩阵，下列命题正确的是（）(A) 若A2?0,则A?0；（B）若AB?AC，则A?0或B?C；（C）?A??A；???A?A???A?A??????A?A???A?A????A?A???A?A????A?A???A?A’（D）3、矩阵A在（）时改变秩（A）转置；（B）初等变换；（C）乘以奇异矩阵；（D）乘以非奇异矩阵
????4、已知?1，?2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,?1,?2是对应的线性方程组AX?0的基础解系,k1,k2为任意常数,则AX?b的通解必是（）???????????1??2?1??2（A） k1?1?k2(?1??2)?;(B)k1?1?k2(?1??2)?;22???????????1??2???2?C?k1?;?D?k1?1?k2(?1??2)?11?k2(?1??2)?225、实二次型f?X?AX正定的充要条件是（） （A）对任意的X?0，有X?AX?0；?B?A?0
三、计算题(每小题10分,共40分)
?C?存在n阶矩阵C，使得A?C?C；?D?负惯性指数为零
1?x11?x11111?y11111-y
1、求
111?1??02、设矩阵B??0??0?式化简并求出A。-11000??2??-10??0,C??01-1?????001??0134??213?-1,矩阵A满足A(E-CB)?C??E,021??002??
?x1?(?2?1)x2?2x3???3、讨论?取何值时，方程组??x1??x2?(2??1)x3?0?x?(2??1)x?2x?223?1有唯一解、无解、无穷多解？在有解时，求出此解。
2224、求正交变换，化二次型f?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3为标准型，并求所用的正交变换。四、证明题(每小题10分,共20分)
????????1、设?可由向量组?1，?2，...，?m-1，?m线性表示，但不能用?1，?2，...，?m-1线性????????表示。证明：向量组?1，?2，...，?m-1，?m与向量组?1，?2，...，?m-1，?等价。
12、设A、B为n 阶矩阵，且A?（B?E），证明：A2?A成立的充要条件为B2?E.2五、(10分)设3阶非奇异矩阵A的特征值为2，2，3，试求矩阵E?A*的特征值。
答案
???一、（1）4（；2）0；（3）R（?1，?2，...，?s）?s；（4）0（；5）6，(1,1,...,1)?00?1?0??21三、（1）x2y2;(2)A??1?21??01?2?(3)当??0、2时，有唯一解为x1??当??0时，无解?x1?10?21k?当??2时，有无穷多解为?x2?k,k为任意常数.?x?8k?4?3?2??5?1(4)T???5???0?2354355351??3?2?222,X?TY,f?2y?2y?7y1233?2???3??
0??0?0??1??1二、（1）C；（2）D（；3）C（；4）B（；5）A?,x2?1?,x3?0四、略
五、7，7，5
《线性代数》模拟试卷（十一）
一、填空题(每小题3分,共15分)
a11、D11?a112、A为3阶方阵，已知AA*?3E，则A?_____，A?1?_____，A*?_____.a2...?__________.?????????3、若向量组?1、?2、?3与向量组p?1??2,?2??3,q?3??1都线性无关，则常数p、q满足关系式_______.4、设A为m?n矩阵，b为m?1矩阵，则线性方程组AX?b有解的充要条件为____；有唯一解的充要条件为________.5、如果n阶方阵A是正交矩阵，则A?1?______，A?_____.二、选择题(每小题3分,共15分)
??????????1、若?1，?2，?3，?1,?2都是4维列向量，且4阶行列式?1?2?3?1?m，?1?2?2?3?n,?????则4阶行列式?3?2?（1?1??2)等于（）???(A)m?n;(B)-(m?n);(C)m-n;(D)n-m2、设A为正交矩阵，且A??1，则必有A*?（）（A）A?;???3、向量组?1,?2,...,?s线性无关的充要条件是（）????A??,?,...,?12s均不为零向量????B??,?,...,?12s中任意两个向量的分量不成比例???（C）?1,?2,...,?s中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示???（D）?1,?2,...,?s中有一部分向量线性无关???
4、设有n元齐次线性方程组AX?0，R（A）?n?3，且?1,?2,?3为其三个线性?B??A?;?C?A;?D??A无关的解，则（）为其基础解系。???????????????（A）?1,?2,?3；（B）?1??2,?2??3,?3??1；（C）?1,?2??3，?1??2??3???????（D）?1??2??3，?3??2,??1?2?2
三、计算题(每小题8分,共40分)
?124???5、设A???1x2?,且A的特征值为1、2、3，则x?（）?001????A?3；?B?4；?C??1；?D?5
abcac?a2ca111、求cb?c2bb1a?b12
0???10???122、化简并计算(A?2E)(A?4E)，其中A??1?10??11?1???
?40?3、设A???-1-2??,试将A表示成三个初等方阵的乘积。??
?2x1??x2?x3?1?4、?取何值时，方程组??x1?x2?x3?2无解、有唯一解或无穷多解？?4x?5x?5x??123?1并在无穷多解时求出方程组的通解。2225、已知f?2x1?3x2?3x3?2ax2x3?a?0?,通过正交变换化成222f?y1?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换。
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、已知矩阵B可逆，且A、B满足A2?AB?B2?0，试证：A和A?B都可逆。
???????2、若?1,?2,...,?m线性无关，证明：?,?1,?2,...,?m线性无关的充要条件是?????不能由?1,?2,...,?m线性表示。
答案
五、已知二阶方阵A的特征值为?1?2、?2?3，对应的特征向量分别为???，x2??，试求A。x1?（1，2）（3，4）
1一、（1）??ai（；2）3，，9；（3）pq??1；（4）R（A）?R（Ab）?n；（5）A?，?13i?1二、（1）D；（2）B；（3）C；（4）A；（5）B三、（1）0；（2）(A?2E)?1(A2?4E)?(A?2E)?1(A?2E)(A?2E)?0???30???A?2E??1?30??11?3????40??10??10?(3)??01?????11????0?2????????44(4)当???时，无解；当??1且???时，有唯一解；55当??1时，有无穷多解，通解为X?（1，?1?k，k），k为任意常数.11
???01(5)a?2,C???2?1???2?5??19???五、A?22???10?2?
100??0?1?2?1???2?