五、(16分)
22求正交变换x?Py,将二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?4x2x3化为标准二次型.并判断其是否为正定或负定二次型.?200??.????????(2分）解:此二次型的表示矩阵为:A??032????023??求得其特征值为?1?1,?2?2,?3?5,????????(6分）相应的特征向量为?0??1??0??,???0?,???1?,????????(9分）?1??1??2??3???????1???0???1??这三个特征向量已是正交的,将它们单位化????????????000101????????1111???,p?0,????,作正交矩阵P???????(14分）p1??0,23???2??2??2?2??0?1??????111?0????????2222??????22则正交变换x?Py将原二次型化为标准形f?y12?2y2?5y3由其标准形可知此二次型为正定二次型.????????(16分）.六、(8分)
设A是n阶方阵,B是n?m矩阵,证明:若秩(B)?n,且AB?0,则A?0.
证:因为AB?0,所以B的每一个列向量都是齐次线性方程组AX?0的解向量.????????????（4分）又秩(B)?n,说明AX?0有n个线性无关的解向量.于是n?秩(A)?n?秩(A)?0,?A?0.????????????（8分）
《线性代数》模拟试卷（二）
一、填空题（每题3分，共15分）：
1． 1． 有一个n阶行列式（n≥3），它的主对角线上的元素都是非零常数a，第1行第
n列的元素为1，第n行第1列的元素也为1，其余元素皆为0。这个行列式等于________________。
|A|??12，则｜A－1－2A*｜＝________________。 2． 2． 设A为3阶方阵，
3． 3． 已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+α2，α2+α3，α3+λα1线性相关，
则λ=________。
4． 4． 三阶零矩阵的全部特征向量是________________________。 5． 5． 设2阶方阵A的特征值为λ
1＝－1，λ2＝2，则
3A的特征值为
________________，A*的特征值为________________，A2－3A＋4I的特征值为________________。
二、选择题（每题3分，共15分；每题有且仅有一个正确选项）： 1. 1. 设A与B皆为n阶方阵，AB＝O，但A≠O，则________。 （A）B＝O； （B）|B|＝0或|A|＝0； （C）BA＝O； （D）(A–B)2＝A2＋B2。
2. 2. 若方阵A与B相似，则以下________是错误的：
（A）A与B有相同的特征值； （B）A与B一定都与一个对角矩阵相似； （C）存在可逆矩阵M，满足MB＝AM； （D）｜λI–A｜=｜λI–B｜。 3. 3. 下列矩阵中，________为正定矩阵。
?230??6?34??121??1?20??????????351???312??241???250??010??4??415??0?2109???????? （A） （B） （C） （D）
4.
4. 下列说法中正确的是________。
（A）矩阵的行向量组与列向量组一定是相互等价的。
（B）若向量组α1，α2，?αm线性相关，则它的任一部分组也线性相关。
（C）若向量组α1，α2，?αm线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余 向量线性表示。
（D）若向量组α1，α2，?αm线性相关，则一定存在全不为零的常数
k1，k2，? ，km，使得：k1α1 + k2α2 + ? +kmαm＝0。
5. 5. 设Ax＝b是个非齐次线性方程组，其系数矩阵A为3×4矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法中正确的是________。
（A）A的列向量组线性无关；（B）此方程组增广矩阵的行向量组线性无关； （C）此方程组的解是唯一的；（D）此方程组增广矩阵的任意四个列向量线性无关。
三、计算题：
ab1． 1． （10分）计算行列式：
a2b2c2a3?axb3?bxc3?cx。
c2． 2． （10分）求以下向量组的秩与一个极大线性无关组：
α1＝（1,3,6,2）,α2＝（2,1,2,﹣1）,α3＝（3,5,10,2）,α4＝（﹣2,1,2,3）。
?00?4??3?????A???2?1?7?，b??6??0?13??12?????，求矩阵X。 3． 3． （12分）已知AX＋b＝X，其中
??2x1?x2?x3??2??x1?2x2?x3??2?x?x?2x??1234． 4． （14分）对于非齐次线性方程组?，讨论其何时
有解，何时无解?在有解时，求出其通解。
5． 5． （8分）设二次型f?x1?x2?x3?2?x1x2?2?x2x3?2x1x3经
过正交变换X=PY化为标准形f?y2?2y3，试求α、β。
四、证明题：
222221、（8分）设方阵A满足A2?A?2I?0，证明：A及A?2I都可逆，?1 并求A?1及（A?2I）。
线
2．（8分）设A是m×n矩阵，R(A)＝n－1；非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1与
η2，它对应的齐次线性方程组AX=0有一个非零解ξ。证明：向量组ξ，η1，η性相关。
2
《线性代数》模拟试卷（三）
一、一、填空题（每小题3分，共15分）
1.设n阶方阵A的秩R（A）?n?1，则A?_________.2.已知3阶行列式A?2，则2A*?______.3.设向量?1?（1，2），?1?（2，3），?1?（4，7），则?1，?2，?3线性______（相关或无关）。4.已知n阶方阵A有一特征值为2，则3A?1有一只特征值等于_______.5.已知?1，?2，?，?n都为非齐次先行方程组AX?b的解，且??c1?1?c2?2???cn?n也为AX?b的解，则c1?c2???cn?______. 二、选择题（每小题3分，共15分）
1.设A、B为n阶方阵，A?0，且AB?0，则（）2（A）B?0（B）B?0或A?0（C）BA?0（D）（A?B）?A2?B22.设A为n阶方阵，则方阵（）为对称矩阵（A）A?A?（C）AA?（B）CAC?，C为任意n阶方阵（D）（AA?）B，B为n阶对称矩阵）3.n维向量组?1，?2，，??s的（3?s?n）线性无关的充要条件是（（A）?1，?2，，??s中存在一个向量可以由其他向量线性表示（B）?1，?2，，??s中存在一个向量不能由其他向量线性表示（C）?1，?2，，??s中任意一个向量都可以由其他向量线性表示（D）?1，?2，，??s中任意一个向量都不能由其他向量线性表示]4.设?1，?2，?，?r是方程组AX?0的一个基础解系，其中A为m?n矩阵，则（）（A）R（A）?r（B）R（A）?n?r（C）n?r（D）?1，?2，?，?r唯一?124???5.设A???1x2?，且A的特征值为1，2，3，则x?（?001???（A）3（B）4（C）?1（D）5三、计算行列式（8分）
3111131111311113
四、设三阶方阵A，B满足关系式
）
?1??3A?1BA?6A?BA，且A??0???0?0140?0??0??1??5?，求B。（8分）
（10分）
设向量组?1?（1，3，6，2），?2?（2，1，2，?1），?3?（3，5，10，2），（?2，1，2，3），求其一个极大线性无关组及秩。五、?4?六、求非齐次线性方程组
?2x1?x2?x3?x4?1??x1?2x2?x3?2x4?0?3x?x?2x?x?0234?1 的通解（12分）
七、用正交变换化二次型
2f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x4为标准形（12分）
八、证明题（每小题10分，共20分）
1.已知?1，?2，?，?r与?1，?2，?，?r，?有相同的秩，证明：向量组??r与?1，?2，?，?r，?等价。 ?1，?2，，
2k?12.若A?（0k为正整数）。求证（I?A）?I?A?A???A。
k?1《线性代数》模拟试卷（四）
二、一、填空题（每小题3分，共15分）
1.设n阶方阵A的秩R（A）?n?1，则A?_________.2.已知2阶行列式A?3，则4A?1?______.3.设向量?1?（1，2），?1?（2，3），?1?（4，7），则?1，?2，?3线性______（相关或无关）。4.已知n阶方阵A有一特征值为4，则2A2有一只特征值等于_______.5.若n元齐次先行方程组AX?0有n个线性无关的解向量，则A?______.二、选择题（每小题3分，共15分）