《线性代数》模拟试卷（十二）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、在一个n阶行列式中，如果等于零的元素的个数大于n2?n，则该行列式等于________22、已知方阵A、B满足A2?A，B2?B，则（A?B）?A?B成立的充要条件为________????3、已知向量组?1?(1,2,3,4),?2?(2,3,4,5),?3?(3,4,5,6),?4?(4,5,6,7),则该向量组的秩为________ 4、齐次线性方程组x1?x2?x3?x4?0的基础解系为____,全部解为____.5、设3阶实对称矩阵A的特征值为?1??2?1,?3?2，则矩阵E?A*的特征值为_______二、选择题(每小题3分,共15分)
a11、4阶行列式00b40a2b300b2a30b100a4(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4的值等于（）(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4(C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4) 2、设A和B均为n?n矩阵，则必有（）?1（A）|A?B|?|A|?|B|；（B）AB?BA；（C）|AB|?|BA|；（D）（A?B）?A?1?B?13、设A是n阶方阵，其秩r?n，那么在A的n个行向量中（（C）任意r个行向量都构成极大线性无关向量组）（A）必有r个行向量线性无关；（B）任意r个行向量都线性无关（D）任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表示 4、设A是m?n矩阵，AX?0是非齐次线性方程组AX?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）（A）若AX?0仅有零解，则AX?b有唯一解（B）若AX?0有非零解，则AX?b有无穷多解（C）若AX?b有无穷多解，则AX?0仅有零解
（D）若AX?b有无穷多解，则AX?0有非零解
5、设A为n阶可逆方阵，?是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是（）
（A）?-1|A|n;(B)??1|A|;(C)?|A|;(D)?|A|n三、计算题(每小题10分,共40分)
1aaa1、已知a100a010a001??2,求a
四、证明题(每小题10分,共20分)
?010??1?1?????2、已知X?AX?B，其中A???111?，B??20?，求矩阵X.??101??5?3?????
??x1?x2?x3???3?3、对于线性方程组?x1??x2?x3??2,试讨论?取何值时，方程组无解、?x?x??x??223?1有唯一解、有无穷多解，有无穷多解时求其通解。
2224、求正交变换，化二次型f?x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3为标准形。
1、已知n阶方阵A满足矩阵方程A2?3A?2E?0，其中A给定，而E是单位矩阵，证明：A可逆，并求出其逆矩阵A?1。?????
2、设?1,?2,?3是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，证明：?1??2，?????2??3，?3??1也是该方程组的一个基础解系。
??200??100?????五、(10分)设矩阵A与矩阵B相似，其中A??2x2?，B??0?20??11?1??00y?????1、求x与y2、求可逆矩阵Q，使得Q?1AQ?B. 答案
?，?2???1，??一、（1）0；（2）AB?BA?0；（3）2；（4）?1?（?1，1，0，1）0，1，0）?????，k1?1?k2?2?k3?（?3?（?1，0，0，1）3k1，k2，k3为任意常数）二、（1）D；（2）C；（3）A；（4）D；（5）B?3?1???三、（1）a?1；（2）?20??1?1???（3）当???2时，无解；当??1且???2时，有唯一解；当??1时，有无??k（??k（?，穷多解，其通解为X?k（，1，0），0，1）0，0）1?12?13?2，k1，k2，k3为任意常数.
??12??2??1224、T???1?22?，X?TY，f?2y12?5y2?y33????221?四、略?0?1?1???五、（1）x?0，y??2；（2）Q??210??101???
《线性代数》模拟试卷（十三）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1xxx1.若x100x010x0012.已知A为n阶反对称矩阵，X?(x1,x2,...,xn),则XAX??________.
???3.已知向量组?1?(1,2,?1,1),?2?(2,0,t,0),?3?(0,?4,5,?2)的秩为2,则t?___.??2,则x?_______.4.设R(Am?n)?r，则齐次线性方程组AX?0中独立方程有____个，多余方程有____个.5.若A为n阶实矩阵，且A2?2A?3E?0，则A的特征值只能是_______.择题(每小题3分,共15分)
二、选
3301?151313151.设行列式D1?0??10,D2?223,且D1?D2，则?取值为（）（A）0，1；（B）0，2；（C）1，?1；（D）2，?12.设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则（）（A）|A*|?|A|n?1（；B）|A*|?|A|；（C）|A*|?|A|n；（D）|A*|?|A?1|????3.已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（）????????（A）?1??2,?2??3,?3??4，?4??1线性无关????????（B）?1??2,?2??3,?3??4，?4??1线性无关????????（C）?1??2,?2??3,?3??4，?4??1线性无关????????（D)?1??2,?2??3,?3??4，?4??1线性无关
4.设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵A的秩为r，则AX?0有非零解的充要条件是（）（A）r?n;(B)r?n;(C)r?n;(D)r?n5.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）（A）充分必要条件；（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件；（D）既非充分也非必要条件三、计算题(每小题10分,共40分)
2x1、求f(x)?131x12x1?1中x4与x3的系数.2x111x
?100??100?????2、已知AP?PB，其中B??000?,P??2?10?,求A及A5.?00?1??211????? ??x1?x2?x3?2?3、?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3?2无解、有唯一解、有无穷?x?2?x?x?123?1四、证明题(每小题10分,共20分)
多解.当有无穷多解时,求出其通解.
224、求正交变换化二次型f?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3为标准形.
1、设A为实反对称矩阵，且（E?A）可逆，证明：(E?A)(E?A)?1为正交阵. ????2、设向量组?1,?2,...,?t是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，向量?不????????是方程组AX?0的解，即A??0,试证：?,???1,???2,...,???t线性无关.
五、(共10分）?001???1.设A??a1b?有三个线性无关的特征向量，求a、b应满足的条件.?100???
222、已知二次型f?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2，求参数c
及此二次型对应矩阵的特征值.
答案
一、（1）1；（2）0；（3）3；（4）r，m?r；（5）?3，1二、（1）C；（2）A；（3）C；（4）D；（5）B0??10??三、（1）x4的系数为2，x3的系数为?1；（2）A??200?，A5?A?6?1?1???（3）当??0时，无解；当??0且??1时，有唯一解；当??1时，有??无穷多解，其通解为X?k（?1，0，1）（3，?1，0），k为任意常数.11??2???5306??51?222(4)C??0?,f?y?6y?6y123?306??122?????306??5五、（1）a?b?0；（2）c?3，?1?0，?2?4，?3?9
《线性代数》模拟试卷（十四）
一、填空题：(每小题3分,共15分)
1、设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为______.?1b1??0?????2、已知A??ba1?与B??1?相似，则a?___,b?____.?111??4??????x1?x2??a1?x?x?a?2323、若线性方程组?有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件_____.x?x??a43?3??x4?x1?a44、设A为3阶方阵，A的列向量组为A1，A2，A3，已知|A|?3，则|2A1?A3A3A2|?______.5、设?是n阶可逆矩阵A的一个特征值，则A?1的一个特征值为_____,A*的一个特征值为______.二、选择题：(每小题3分,共15分)