1、以下结论正确的是（）（A）若方阵A的行列式|A|?0，则A?0；（B）若A2?0，则A?0（C）若A为对称矩阵，则A2也是对称矩阵（D）对任意的同阶方阵A、B有（A?B）(A?B）?A2?B22、设A为m?n阶矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充要条件是（）（A）A的列向量组线性无关；（B）A的列向量组线性相关（C）A的行向量组线性无关；（C）A的行向量组线性相关3、要使下列运算成立，矩阵P应取（）?a11a12?P?a21a22?a?31a32a13??a11?3a31a12?3a32??a23???a21a22?a33?a32??a31a13?3a33??a23?a33??
?100??10?3??00?3??100?????????(A)?010?;(B)?010?;(C)?010?;(D)?010???301??001??101??0?31????????? 4、若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）?1?A?1??(A?)?1（A）(2A）?2A；(B）AA?0；(C）(A）?；(D）（A?1）|A|
5、A为实对称矩阵，则下列成立的是（）?1?1**?1????（A）如A的主对角线元素全为正，则A正定；(B)如行列式|A|?0,则A正定.三、计算题：(每小题10分,共40分)
(C)如A?1存在且正定,则A正交;(D)如P?AP正定,其中P为可逆矩阵,则A正定.
x11、（1）求Dn?11
1x111...1...x...1...111;(2)D?xeaebeceda2b2c2d2a3b3c3d3
...............
?1??1?11?????2、设AB?A?XX?，其中X???1?，B???11?1?，求A.?1??1?11?????
?1???2??1??????????3、确定k的值，使得向量组?1??k?，?2??k?2?，?3??k?线性相关?1???1??2???????
四、证明题：
1、矩阵A有一个特征值为零的充要条件是A为奇异阵.(10分)
?200??200?????4、已知矩阵A??001?与B??0y0?相似.?01x??00?1?????(1)求x与y.(2)求一个满足P?1AP?B的可逆矩阵P.
?x1?a1x2?a12x3?2?x1?a2x2?a2x32、(10分)设线性方程组?2?x1?a3x2?a3x3?x?ax?a2x4243?1?a133?a22?a33?a4(1)证明：若a1,a2,a3,a4两两不等，则此方程组无解.??(2)设a1?a3?k,a2?a4??k(k?0),且已知?1,?2是该方程组的两个解,
??其中?1?(?1,1,1)?,?2?(1,1,?1)?,试求该方程组的通解.
答案
1|A|一、（1）0;（2）a?3，b?1;（3）a1?a2?a3?a4?0;（4）?6;（5），??二、（1）C；（2）A；（3）B；（4）B；（5）D三、（11）Dn?（x?n?1）(x?1)n?1;(2)D?e(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)?1?11??1??1?2、A?XX(B?I)???11?1?2???1?11?1?21???23、?1，?2，?3线性相关?kk?2k?0?k??31?124、（1）x?0，y?1（2）?B的特征值为2、1、?1，?A的特征值也是2、1、?1.A的对应?1??0??0???????三个特征值的特征向量分别为p1??0?,p2??1?,p3??1?.?0??1???1???????令P?(p1,p2,p3),则P?1AP?B四、1“.?”设x是A的对应于特征值??0的特征向量，即Ax?0x?0.?x?0,?齐次线性方程组Ax?0有非零解,?|A|?0,即A奇异.“?”设A奇异，即|A|?0.此时齐次线性方程组Ax?0必有非零解x0,显然Ax0?0x0,即x0是A的对应于零特征值的特征向量.2.(1)增广矩阵为B,则|B|?1?j?i?4?(ai?aj)?0.?R(B)?4.系数矩阵A,则R(A)?3.?R(A)?R(B).方程组无解.(2)对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含有n?R(A)?4?3?1??1???2???1???????个解向量.取?1??1??2??0?,通解为x?k?0???1??2??2??1??????????
《线性代数》模拟试卷（十五）
一、填空题：(每小题3分,共15分)
????1、设3阶方阵A?（??2?3），B?（??2?3），其中?，?，,?2,?3都是3维列向量,???1且已知|A|?2,|B|?,则|A?B|?________.2?300??100?????2、设矩阵A??140?,I??010?,则逆矩阵(A?2I)?1?________.?003??001?????3、设A为m?n矩阵,如果任一n维向量都是方程组Ax?0的解,则A?_____.24、二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x2?x1x2?3x2x3的矩阵为______;对称矩阵???1???0?1?2??A???112?所表示的二次型为________.?12?1??2???5、设?是n阶可逆矩阵A的一个特征值,则A?1的一个特征值为____,A*的一个特征值为__________.二、填空题：(每小题3分,共15分)
1、设A是4阶矩阵，且|A|?0，则矩阵A中(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合;（）(A)必有一列元素全为零;(B)必有两列元素对应成比例(D)任一列向量是其余列向量的线性组合??2、要使?1?(1,0,2)?,?2?(0,1,?1)?都是齐次线性方程组Ax?0的解,只要系数矩阵A为()?01?1???20?1?102????(A)(?2,1,1);(B)??011??;(C)??01?1??;(D)?4?2?2??????011???
3、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
下列
结论正确的是 （ ）
（A）r=n，方程组Ax=b有唯一解；（B）m=n时，方程组Ax=b有唯一解 （C）r 4、若A为正定矩阵，则A的特征值?1，?2，...，?n为（（A）?i?0(i?1,2,...,n);(B)|?i|?0但?i可能小于0）(C)?i为实数,且有可能为0;(D)?i为非负实数,但有可能为05、T为正交矩阵,A为对角矩阵,则矩阵T?1AT为(三、计算题： )(A)正交矩阵;(B)对称矩阵;(C)不一定为对称矩阵;(D)以上均不对 ?211???1、(10分)已知A??263?，并且AB?A?B，求A?B.?213??? x4?1?2x1?x2??2、(10分)当?取何值时，线性方程组?3x1?2x2?x3?x4?0有解??x?x3?x4???1并在有解时求出所有解. 223、(20分)已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3(1)写出二次型f的矩阵A；(2）用正交变换化二次型为标准形 四、证明题：(每小题10分,共20分) *1、设A、B为满秩矩阵，试证：（AB）?B*A*?2、设?是A的属于特征值?0的特征向量，k是自然数，试证：??是Ak的属于特征值?k0的特征向量. 五、(10分)设A为非零的n阶方阵，并且有一个正整数k使Ak?0.试问:A能否与一个对角矩阵相似,并说明理由.