1、已知4阶行列式D的第二行元素分别是?1、0、2、4，第三行元素对应的余子式依次为0、2、a、4，则a?______.?a1?22、已知A???0b??，且A?A，则a?_____，b?_____.?????3、已知?1?（1，3，2），?2?（3，2，?1），?3?（2，?，3），当?取值范围为___是时，????1，?2，?3线性无关。?x1?x2?x3?0?4、方程组?2x1?x2??x3?0有非零解的充要条件是??_____.?x?2x?x?03?15、设A2?E，则A的特征值为______.二、选择题：(每小题3分,共15分)
1、设k为非零常数，则n阶行列式?(kaij)?(A)k?(aij)（A)A-A?(B)k?(aij)(C)kn?(aij)(D)kn?(aij)2、设A为n阶方阵，则方阵（）为对称方阵()(B)CAC?,C为任意n阶方阵（C)AA?(B)(AA?)B,B为n阶对称方阵3、下列命题正确的是（）???(A)若向量组?1，?2，...，?m线性相关，则存在全不为零的数k2,...,km使得???k1?1?k2?2?...?km?m?0???????(B)若向量组?1，?2，...，?m线性相关，则?1可以由?2，?3，...，?m线性表示???(C)若向量组?1，?2，...，?m线性相关，则它的任一部分向量线性相关???(C)若向量组?1，?2，...，?m线性无关，则它的任一部分向量线性无关???，?2??都是齐次线性方程组AX?0的解，只要系数4、要使?1?（1，1，2）（1，?1，0）矩阵A为（ ）?102??22?1?（A)(1,1,-1),(B)(1,-1,1),(C) ?,(D)???0?11???102??????225、实二次型f(x1,x2,x3)?x1?x22?x3?2ax1x2?2bx2x3?2x1x3经正交变换22X?PY后化为f?y2?2y3,则（）（A)a?0 b?1, (B) a?0 b?0, (C) a?1 b?0, (D) a?1 b?1 题(每小题10分,共40分)
三、计算
11、求D?
?1?1x?1?11x?111x?1?1?1?1
11x?1
?301???2、设矩阵A和B满足关系式AB?A?2B，其中A??110?,求矩阵B。?014???
x1?x2?x3?x4?0??x2?2x3?2x4?1?3、问a、b为何值时，线性方程组???x2?(a?3)x3?2x4?b??3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解、无解、无穷多解？并求出有无穷多解时的通解。
2224、用正交变换化二次系型f?4x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3为标准型.
四、证明题(每小题10分,共20分)
???????1、设?1，?2，...，?m-1(m?3)线性相关，?2，?3，...，?m-1，?m线性相关，证明：????（1）?m可以用?1，?2，...，?m-1线性表示。????? （2）?1不能由，?2，?3，...，?m-1，?m线性表示。
2、设n阶方阵A?0，证明：存在一个n阶方阵B?0使得AB?0的充要条件是A?0。
五、(10分)求出满足A?E的所有二阶方阵。
2答案
一、(1)8;(2)1,0;(3)??5;(4)2;(5)1或?1 二、（1）C;(2)C;(3)D;(4)A;(5)B
?5?2?2???三、（1）x4；（2）4?3?2????223???
（3）当a?1时，有唯一解；当a?1、b??1时，无解当a?1、b??1时，有无穷多解，通解为?1??1???1????????2????2???1?X?k1???k2?????,其中k1、k2为任意常数.100??????0??1??0???????? ?k22??????(4)A??242?,??2,2,8.特征向量x1?(?1,1,0)?,x2?(?1,0,1)?,x3?(1,1,1)??224???11??1????263??111?正交单位化正交变换矩阵为C????263??21????0?63??四、略
?a0?2五、当|A|?1时，A??，其中a?1??0a????ab?2当|A|??1时，A???c?a??，其中a?bc?1??
《线性代数》模拟试卷（十）
一、填空题(每小题3分,共15分)