2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分
一、 实数a1,a2, ,an满足a1 a2 an
max(a)
1 k n
2k
0
2
，求证：
n3
n 1
i 1
ai ai 1 ．
证明 只需对任意1 k n，证明不等式成立即可． 记dk ak ak 1,k 1,2, ,n 1，则
ak ak
，
ak 1 ak dk，ak 2 ak dk dk 1, ,an ak dk dk 1 dn 1， ak 1 ak dk 1,ak 2 ak dk 1 dk 2, ,a1 ak dk 1 dk 2 d1，
把上面这n个等式相加，并利用a1 a2 an 0可得
nak (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1 0．
由Cauchy 不等式可得
(nak) (n k)dk (n k 1)dk 1 dn 1 (k 1)dk 1 (k 2)dk 2 d1
2
2
k 12 i i 1
n k
i 1
n 12 i di i 1
2
n 12 n 12 n(n 1)(2n 1) n 12
i di di 6 i 1 i 1 i 1 n n 12 di 3 i 1
3
，
n3
n 1
所以 a
2k
i 1
ai a i1
2
．