2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
五、实数列 an 满足：a1
ak 1 ak
12
，
，k 1,2, ．
12 ak
证明不等式
n
1
2(a1 a2 an)
n
n
1 1 a1 a2 an 1
1 1 1 ．
n a1 a2 an
12
,n 1,2,
证明 首先，用数学归纳法证明：0 an
n 1时，命题显然成立．
12
．
假设命题对n(n 1)成立，即有0 an 设f(x) x
1
．
1
,x 0, ，则f(x)是减函数，于是 2 x 2
an 1 f(an) f(0)
12
,
an 1 f(an) f()
2
116
0，
即命题对n＋1也成立．
原命题等价于
1 1 1 nn
1 1 1 1 ． 2 a a a aaaa a a2n 12n 1 2 n 1
n
n
设f(x) ln
1
1
1 ,x 0,
2 x
，则f(x)是凸函数，即对0 x1,x2
12
，有
f x1 f x2 x x2
f 1 ．
22
f x1 f x2 x1 x2 事实上，f 等价于
22
1 1 2
1 1 1 ，
x1 x2 x1 x2
2
x1 x2
2
0．
所以，由Jenson 不等式可得